Distribución de Probabilidad

Distribución de probabilidades normal estandar

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Distribución de Probabilidad por Mind Map: Distribución de Probabilidad

1. Distribución de Probabilidad Normal Las distribuciones de probabilidad continua pueden tomar varias formas, pero un gran número de variables aleatorias observadas en la naturaleza poseen una distribución de frecuencia que tiene m ́as o menos la forma de montículo o campana que suele asociarse a una distribución de probabilidad normal, o es aproximadamente una distribución normal. La fórmula que genera esta distribución se muestra a continuación.

1.1. La formula de la distribución de probabilidad normal esta considerada de la siguiente forma. P(x) = 1 / σ· √ 2 π · e − [ (x−μ)2 / 2σ2 ]

1.1.1. Donde, los símbolos μ y σ son la media y la desviación estándar respectivamente.

1.2. La distribución de probabilidad normal posee las siguientes características:

1.2.1. - Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se localizan en el centro de la distribución. El área total bajo la curva es de 1,00. La mitad del área bajo la curva normal se localiza a la derecha de este punto central, y la otra mitad, a la izquierda. -Es simétrica respecto de la media. Si hace un corte vertical por el valor central a la curva normal, las dos mitades son imágenes especulares. - Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central. Es decir, la distribución es asintótica. La curva se aproxima m ́as y m ́as al eje x, sin tocarlo. En otras palabras, las colas de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones. - La localizaci ́on de una distribuci ́on normal se determina a trav ́es de la media,μ. La dispersi ́on (o propagaci ́on) de la distribuci ́on se determina por medio de la desviaci ́on est ́andar. σ.

2. Distribución de Probabilidad Normal Estándar La cantidad de distribuciones normales es ilimitada, y cada una posee diferente media, desviación estándar, o ambas. Mientras que es posible proporcionar un número limitado de tablas de probabilidad de distribuciones discretas, como la binomial y la de Poisson, es impráctico elaborar tablas de una infinidad de distribuciones normales.

2.1. Cualquier distribución de probabilidad normal puede convertirse en una distribución de probabilidad normal estándar si se resta la media de cada observación y, esta diferencia se divide entre la desviación estándar. Los resultados reciben el nombre de valores z o valores tipificados.

2.1.1. La distribución normal estándar es muy ́útil para determinar probabilidades para cualquier variable aleatoria normalmente distribuida. El procedimiento a seguir es el siguiente:

2.1.1.1. El procedimiento básico es encontrar el valor z correspondiente, y hacer uso de la tabla de probabilidad. Antes, de conocer como hallar probabilidades, se presentan unos ejemplos que enfatizan en el uso de la distribución normal estándar.

2.2. z =x − μ / σ

2.2.1. Se debe tener presente que: x: es el valor de cualquier observación y medición. μ: es la media de la distribución. σ: es la desviación estándar de la distribución.

3. Regla Empirica A veces denominada regla normal, esta regla sintetiza el teorema de Chebyshev. Establece que si una variable aleatoria est ́a normalmente distribuida, entonces:

3.1. Esta regla maneja tres (3) principios fundamentales para el reconocimiento y el buen uso de la misma, tales como:

3.1.1. 1) Aproximadamente 68,26 % de las observaciones están entre m ́as y menos una desviación estándar de la media. 2) Aproximadamente 95,46 % de las observaciones están entre m ́as y menos dos desviaciones estándar de la media. 3) Prácticamente todas, o 99,73 % de las observaciones están entre m ́as y menos tres desviaciones estándar de la media.

4. Cálculo de probabilidades en la distribución normal estándar

4.1. En esta ́ultima podremos hallar probabilidades mediante las tablas de probabilidad. Además, para pasar de una distribución normal (x), a una distribución normal estándar (z), se utiliza en proceso de estandarización.

4.2. Este tipo de cálculos se pueden evaluar y desarrollar de una manera mas eficaz y certera con los siguientes casos,,,,

4.2.1. Caso 1: P(Z ≤ z) Caso 2: P(Z ≥ z) Caso 3: P(z1 ≤ Z ≤ z2)

4.2.1.1. Caso 1: P(Z ≤ z) En este caso, se tiene que la probabilidad es representada mediante un área acumulada a izquierda bajo la curva normal, es decir, desde −∞ hasta el valor z.

4.2.1.2. Caso 2: P(Z ≥ z) En este caso, se tiene que la probabilidad es representada mediante un área acumulada a derecha bajo la curva normal, es decir, desde el valor z hasta ∞.

4.2.1.2.1. P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z) Nota: La operaci ́on establecida previamente, nos indica que cuando se tiene una probabilidad caso 2, esta se puede expresar mediante una probabilidad caso 1, la idea es poder buscar esta probabilidad con ayuda de la tabla, y recuerde que esta tabla s ́olo funciona para caso 1.

4.2.1.3. Caso 3: P(z1 ≤ Z ≤ z2) En este caso, se tiene que la probabilidad es representada mediante un área bajo la curva normal entre los valore z1 y z2.

5. Cabe resaltar que los valores o posibles resultados en el caso 1, 2 o 3 entendiendo que para hallar las probabilidades nos podemos guiar de la tabla de probabilidades tanto en "VALORES z NEGATIVOS" como "VALORES z POSITIVOS".