Conjuntos Numéricos

Matemáticas

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Conjuntos Numéricos por Mind Map: Conjuntos Numéricos

1. El origen de éstos números fue por el uso de cálculos geométricos relacionados con el número áureo o número de oro, que resultaba del cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado del mismo, que era igual a la razón entre el segmento mayor y el menor segmento AB, dividido por un punto interior al mismo llamado C, cumpliendo que AC/CB = AB/AC (proporción áurea). Un problema que se relacionó con su introducción, fue el cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado uno, que por el teorema de Pitágoras conduce al número raíz cuadrada de 2, que por un camino análogo al utilizado anteriormente tampoco se llega a un número racional. Los razonamientos utilizados por los griegos fueron realizados a través de métodos geométricos y no de manera analítica. Aproximadamente dos mil años más tarde se aclara más la noción de los números irracionales. En el siglo XV con el matemático francés Nicolás Chuquet y en el siglo XIX con las teorías de Dedekind y Cantor.

2. Definición

2.1. Números Naturales

2.2. Los números naturales N comienzan con el número 1 (uno) y generalmente se utilizan para contar. Como conjunto se representa de la siguiente manera: N = {1,2,3,...} Al averiguar el número de elementos que tiene un conjunto finito, se le asigna a cada elemento un número natural, es decir: al primer elemento se le asigna el número uno (1), al segundo, el número dos (2) y, así sucesivamente, hasta agotar los elementos del conjunto. Al finalizar éste proceso, el número de elementos del conjunto es el último natural utilizado. Para representar a los naturales en una recta, se ubica hacia la derecha la secuencia 1, 2, 3, ... a una distancia fija, denominada unidad.

2.3. Aplicación

2.4. los números naturales tienen varias funciones, como ser:

2.5. Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).

2.5.1. Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).

2.5.2. Identificar y diferenciar los números en un contexto dado.

2.6. Identificar cantidades.

2.7. Comparar

2.8. Operaciones básicas

2.9. Las operaciones fundamentales con los números naturales son la adición, sustracción, multiplicación y división

2.10. Ejemplo

2.10.1. Adición. Es una operación binaria en la que, dados dos números llamados sumandos, se reúnen en uno solo llamado suma.

2.10.2. 4+4= 8

2.10.3. Sustracción. Es la operación en la que buscamos un sumando desconocido, conociendo otro sumando y la suma.

2.10.4. 15-5=10

2.10.5. Multiplicación. Se define como una suma abreviada de sumandos iguales. El sumando que se repite es llamado multiplicando, el numero que indica las veces que se toma dicho sumando es llamado multiplicador. Ambos, el multiplicando y el multiplicador son llamados factores El resultado se llama producto.

2.10.6. 4x4=16

2.10.7. División. Operación inversa de la multiplicación que consiste en calcular el valor de un factor en una multiplicación donde se conoce un factor y el producto.

2.10.8. 20÷4=5

2.10.9. Civilización

2.10.9.1. Comenzó como:

2.10.9.2. Mediante marcas en huesos o madera.

2.10.9.3. Los egipcios usaron un sistema describir los

2.10.9.4. números en base diez utilizando los jeroglíficos.

2.10.9.5. Sistema Romano.

2.10.9.6. Sistema de numeración babilónico.

2.10.9.7. El sistema numérico maya.

2.10.9.8. Sistema de Numeración Griego.

2.10.9.9. Para negociar y ordenar cosas, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que tenía para saber con qué contaba exactamente. De ahí surgió la necesidad de crear símbolos que representaran esas cantidades. Por ejemplo, si alguien sabía cuántas gallinas tenía, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia. A partir de esta necesidad el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales. Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.

3. Números Enteros

3.1. Definición

3.1.1. Aplicación

3.1.1.1. Se aplica cuando hablamos de: Altura y profundidad. Temperaturas bajo y sobre 0. Años antes o después de Cristo. Perdidas y ganancias.

3.1.1.1.1. Operaciones básicas

3.2. Se definen como números enteros a todas aquellas cifras numéricas que permiten enunciar una cantidad determinada con respecto a la unidad de dicha cifra.

4. Números racionales

4.1. Definición

4.2. Los números racionales son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros o, más exactamente, un entero y un natural positivo;​ es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero.

4.3. Aplicación

4.3.1. Un tercio de las patatas "chips" es grasa.

4.3.2. El tren con destino a Madrid trae un retraso de tres cuartos de hora.

4.3.3. Uno de cada 100 nacidos en España es celiaco.

4.3.4. Los gastos, que ascienden a 3.450 €, tienen que repartirse entre los 12 vecinos del inmueble.

4.4. Operaciones básicas

4.5. Suma y resta de números racionales Para sumar o restar dos o más fracciones es condición necesaria que tengan el mismo denominador. Si tuvieran distintos denominadores lo primero que hay que hacer es obtener fracciones equivalentes con igual denominador. Para sumar o restar fracciones con igual denominador se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador: 2/3 + 5/3 + 7/3 = (2 + 5 + 7)/3 = 14/3 9/2 – 3/2 – 4/2 = (9 – 3 – 4)/2 = 2/2 Veamos ahora un ejemplo con fracciones con distintos denominadores: 4/5 + 2/3 Procedemos a calcular fracciones equivalentes: Aplicamos el procedimiento del mínimo común múltiplo: 5 x 3 = 15 Sustituimos las fracciones originales por fracciones equivalentes: 12/15 + 10/15 Ya podemos sumar: 12/15 + 10/15 = 22/15

4.5.1. Multiplicación de números racionales Se multiplican sus numeradores y sus denominadores. 4/6 x 7/3 = (4 x 7)/(6 x 3) = 28/18

4.5.2. División de números racionales: Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda. 5/3 : 7/4 = (5 x 4)/(3 x 7) = 20/21

4.6. Civilización

4.7. Según documentos históricos, la civilización egipcia consideraba a las fracciones unitarias. En el Papiro de Ahmes adquirido por Henry Rhind en 1858, cuya antigüedad data del año 2000 al 1800 a.C. se encuentran escritos 87 problemas y su resolución. Los temas que trata son situaciones aritméticas, fracciones, cálculo de área y volumen, progresiones, repartos proporcionales, ecuaciones lineales y trigonometría.

4.8. Los egipcios sólo consideraban las fracciones unitarias.

4.9. Otra civilización que estudió números racionales fue la babilónica.

5. Números irracionales

5.1. Definición

5.2. Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras

5.3. Aplicación

5.3.1. Calcular diferentes áreas y volumen, especialmente gracias al número pi (π).

5.3.2. El número irracional e (Euler) se usa en los estudios de crecimiento de poblaciones como las bacterias.

5.3.3. Los números irracionales, que son raíces, permiten relacionar diferentes variables en la arquitectura o diseño mecánico, por ejemplo cuando aplicamos el teorema de Pitágoras.

5.4. Operaciones básicas

5.5. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales, dados dos números irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional.

5.5.1. Civilización

5.6. En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:

5.7. √3+√5. Dos irracionales cuya suma resulta un irracional.

5.8. √2.√3=√6. Dos irracionales cuyo producto es un racional.

5.9. √5+(-√5)=0. Dos irracionales cuya suma es racional.

5.10. Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

5.11. Si es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional.

5.12. Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a ·b siempre es irracional.

5.13. En virtud de estas afirmaciones podemos decir que:

5.14. 2+ √3 es irracional.

5.15. 2 · √5 es irracional

6. Números reales

6.1. Definición

6.2. Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.

6.3. Aplicación

6.4. Cálculos.

6.5. Cuentas de la casa.

6.6. El banco.

6.7. El presupuesto.

6.8. La hora.

6.9. Compras.

6.10. Ventas.

6.11. Operaciones básicas

6.12. Suma La adición es una operación directa que tiene por objeto el reunir en uno solo los valores de varios números. Los números cuyos valores se han de reunir se llaman sumandos y el resultado suma. La operación se indica con el signo +, el cual se coloca entre los sumandos y se lee "más". Resta Es la operación inversa de la adición. El número que tiene el signo más se llama sumando y el que tiene el signo menos se llama substraendo; el resultado de la operación se llama diferencia entre los números. El signo de la operación es una raya horizontal - , que se lee "menos". Ejemplo: 12 + (-4) = 8, (-13) + 3 = -10. La suma de un número positivo con un negativo puede dar como resultado un númro negativo o positivo, depende del signo de los números a restar. Multiplicación Se define esta operación diciendo que consiste en repetir un número, llamado multiplicando, tantas veces como tantas unidades tiene otro llamado multiplicador. El signo de la multiplicación se dio originalmente con el signo X, que es una cruz en aspa o un punto(.) entre los dos números, llamados multiplicandos y multiplicador. Actualmente se ha cambiado la cruz (símbolo de multiplicación) por el asterisco *, que es más usual en computación y es para no confundirlo con la variable x que emplearemos mucho en álgebra. Al resultado de la operación se le llama producto.

6.13. Civilización

6.14. Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

7. Números complejos

7.1. Definición

7.2. Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado.​

7.3. Aplicación

7.4. En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si se utilizan las formas aerodinámicas de Jouwkoski.

7.4.1. Civilización

7.4.2. Los números complejos resultan de las raíces cuadradas de números negativos. Si bien los griegos resultan ser el primer referente como Herón de Alejandría ( Siglo I a.C.) al obtenerse como resultado de una sección cónica, en el año 275 Diophantus que intentó calcular los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 12 y área 7 y planteó la ecuación 336 X 2 + 24 = 172 X cuyas raíces son complejas. Sin embargo los hindúes son los que comienzan a tratar de explicar el tema.

7.5. Para el estudio de fractales que a su vez tienen numerosas aplicaciones en otros campos.

7.6. El concepto de señal juega un papel importante en áreas diversas de la ciencia y de la tecnología como las comunicaciones, la aeronáutica y astronáutica, el diseño de circuitos, la acústica, la sismología, la ingeniería biomédica, los sistemas de generación y distribución de energía, el control de procesos químicos y el procesamiento de voz. En el lenguaje para describir las señales. y en las herramientas para analizarlas intervienen los números complejos.

7.7. Operaciones básicas

7.8. Sumar y restar Sean z y w dos complejos dados en su forma binómica: Z=a+b*i W=c+d* i La suma de los complejos z y w es un número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias: Z+w= (a+b*i)+(c+d*i)= (a+c)+(b+d)*i La resta es análoga, pero restando: z-w= (a+b*i)-(c+d*i)= (a-c)+(b-d)*i