Espacios vectoriales y vectores geométricos

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Espacios vectoriales y vectores geométricos por Mind Map: Espacios vectoriales y vectores geométricos

1. Base y dimensión Un conjunto de vectores es una base si -es linealmente independiente - si es conjunto generador de V

1.1. Teoremas

1.1.1. Si {v1, v2, … , vn} es una base de un E.V. V, entonces todo conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente (L.D.). EJ: en R² x es una base de espacio vectorial v entonces todo conjunto de más de 2 vectores es LD

1.1.1.1. Si {u1, u2, ..., um} y {v1, v2, ..., vn} son bases del espacio vectorial V entonces m=n.

1.1.2. Si {v1, v2, ..., vn} es una base de un espacio vectorial V y si v pertenece a V, entonces existe un conjunto único de escalares k1, k2, ..., kn tales que: v = k1v1 + k2v2 + ... + knvn

2. Vectores en R²

3. Vectores en R³

4. Definición Espacio vectorial de base finita entonces el número de vectores que tiene cualquier base de V es finita En cualquier otro caso la base de dimensión infinita Si V=(0) entonces V es de dimensión cero EJ: Dim R²=2

5. Espacio vectorial

5.1. Espacio bidimensional o R²

5.2. Espacio tridimensional o R³

5.3. Vectores en R^n

5.4. Espacio n-dimencional o R^n

5.5. Operaciones entre vectores del espacio n-dimencional o R^n

5.5.1. Adición de vectores en R^n U+V es igual a la suma de cada componente de uno con el componente en la misma posición del otro

5.5.1.1. Asociativa (u+V)+w=u+(V+w)

5.5.1.2. Conmutativa V+w=w+v

5.5.1.3. Existencia del vector nulo V+0=0+V=V

5.5.1.4. Existencia del vector inverso aditivo V+(-v)=(-v)+V=0

5.5.2. Producto de un vector de R^n por escalar k Cada componente es multiplicado por separado por el escalar (k)

5.5.2.1. Asociativa k1.(k2.u)=(k1.k2).u

5.5.2.2. Distributiva respecto a la suma de vectores k(u+V)=ku+kv

5.5.2.3. Distributiva respecto a la suma de escalares (k1+k2).u=k1.u+k2.u

5.5.2.4. Existencia del elemento neutro 1.u=u

5.5.2.5. Si k=0, vector nulo en R^n 0.u=0

5.5.2.6. Si k=-1, inverso aditivo en R^n (-1)u=-u

5.5.3. Igualdad de vectores en R^n Mismo número de componentes y componentes correspondientes iguales

5.5.3.1. Simetríca u=u

5.5.3.2. Transitiva u=V ^ V=w entonces u=w

5.5.3.3. Reflexiva u=V entonces v=u

6. Espacio vectorial real V Conjunto de vectores junto con la adición y multiplicación por un escalar que satisfacen diez axiomas

6.1. Axiomas

6.1.1. Si u ^ v pertenece a V por consiguiente u+v pertenece a V

6.1.2. Su u ^ v pertenecen a V por consiguiente u+v=v+u

6.1.3. Si u, v ^ w pertenecen a V por consiguiente u+(v+w)=(u+v)+w

6.1.4. Existe un vector 0 en V, vector nulo tal que para todo u perteneciente a V u+0=0+u

6.1.5. Si u pertenece a V existe -u en V, inverso aditivo tal que u+(-u)=(-u)+u=0

6.1.6. Si u pertenece a V y k es escalar por consiguiente ku pertenece a V

6.1.6.1. Para todo vector u perteneciente a V, 1.u=u 1 es identidad multiplicativa

6.1.7. U y v pertenece a V y la escalar entonces k(u+v)=ku+kv

6.1.8. U pertenece a V y k1, k2 son escalares entonces (k1+k2).u=k1.u+k2.u

6.1.9. U pertenece a V y k1 y k2 escalares entonces (k1.k2).u=K1.(k2.u)=K2.(k1.v)

6.2. Teorema

6.2.1. 0.u=0 para todo u perteneciente a V

6.2.2. K.0=0 para todo número real

6.2.3. (-1).u=-u para todo vector u perteneciente a V

6.3. Combinación líneal Se obtiene al sumar dos o más vectores multiplicados por escalares

6.4. Conjunto generador de un espacio vectorial Los vectores en V generan el espacio vectorial V, si todo vector v se puede expresar como combinación lineal de ellos EJ: ai+bj+ck

6.4.1. Si k.u=0 puede ser u=0 o k=0 o ambos

6.4.2. La adición de uno o más conjuntos generadores de un espacio, da por resultado otro conjunto generador

6.5. Dependencia e independencia lineal

6.5.1. Dependencia lineal (D.L) Los vectores son linealmente independientes si existen n escalares no todos nulos tal que k1.v1+k2.v2+....+kn.vn=0

6.5.2. Independencia lineal (L.I) Si la única combinación lineal entre ellos que da como resultado un vector nulo, una donde todos los escalares son nulos

6.5.3. Teoremas

6.5.3.1. Dos vectores un E.V. V son linealmente dependientes (L.D.) si y sólo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

6.5.3.2. Todo conjunto de n vectores linealmente independientes (L.I.) en Rn genera a Rn.

6.6. Coordenadas de un vector relativas a la base

6.6.1. Conjunto de vectores base( base b) de v y como todo vector v de V puede expresarse con una única combinación lineal, los escalares se denominan coordenadas de v respecto a la base b se denota (V)b (la b es chiquita)

6.6.2. Dentro del espacio vectorial V se pueden definir subconjuntos de vectores que cumplan determinadas condiciones, algunos serán en si espacios vectoriales y otros no

6.7. Subespacio vectorial

6.7.1. Definición Un subconjunto S no vacío de un espacio vectorial V, es un subespacio de V, si S es en sí mismo un espacio vectorial, bajo las operaciones de adición y multiplicación por un escalar definidas en V.

6.7.2. Teorema

6.7.3. Si S es un conjunto de uno o más vectores de un espacio vectorial V entonces S es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: a) Si u ∈ S y v ∈ S, entonces (u+v) ∈ S. b) Si u ∈ S y k es un escalar, entonces ku ∈ S.

6.7.4. Generalizaciones de rectas

6.7.4.1. si pasa por el origen todos los puntos estan dados por:A={(x, mx) / x ∈ R} A es subconjunto de R2 y también es subespacio de R2.

6.7.4.2. si no pasa por el origen todos los puntos estan dados por: B={(x, mx+b) / x ∈ R} B es subconjunto de R2 pero B no es subespacio de R2.