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Matrices por Mind Map: Matrices

1. Las matrices son un arreglo de números ordenados en filas y columnas.

1.1. Su notación normalmente se realiza con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas que tienen como subíndice i j.

1.2. Estas pueden contener entradas de números reales, complejos, naturales, etc.

2. Uno de sus principales usos es representar los coeficientes de algún sistema de ecuaciones.

2.1. Esencial en los lenguajes de programación, pues las mismas pueden encontrarse en hojas de cálculo o bases de datos.

2.2. En general, las matrices son usadas como contenedores donde se almacenan diferentes tipos de datos.

3. Tipos de matrices

3.1. Matriz Diagonal

3.1.1. Únicamente la diagonal es diferente de 0, el resto de elementos son 0.

3.2. Matriz Escalar

3.2.1. La diagonal es diferente de 0 y sus valores son iguales, el resto de elementos son 0.

3.3. Matriz Identidad

3.3.1. La diagonal se encuentra formada por 1, el resto es 0.

3.4. Matriz Nula

3.4.1. Está formada únicamente por ceros.

3.5. Matriz Transpuesta

3.5.1. Es la matriz que toma las filas de la matriz original y las convierte en columnas.

4. Operaciones entre matrices

4.1. Suma y Resta

4.1.1. Las matrices deben tener igual tamaño. Y se suma o resta entre elementos correspondientes.

4.2. Producto

4.2.1. El producto entre 2 matrices se realiza mediante el producto escalar entre las filas y las columnas de la segunda matriz.

4.2.2. Es necesario que el tamaño de las filas sea igual al tamaño de las columnas de la segunda matriz.

4.3. Sistema de Ecuaciones: Forma Matricial

4.3.1. Un sistema de ecuaciones puede ser representado en una matriz para hallar los valores de las incógnitas.

4.3.1.1. Método de Gauss-Jordan

4.3.1.1.1. Es el método que se emplea para hallar soluciones (si es que existen) de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas (Grossman & Flores, 2012, pág. 8.).

4.3.2. Matriz Ampliada

4.3.2.1. Representa a todo el sistema de ecuaciones separada por una vertical punteada en la parte correspondiente al igual.

4.3.3. Matriz Inversa

4.3.3.1. Sean A y B dos matrices de n x n. Suponga que: AB = BA = I (Matriz Identidad). La inversa de una matriz se denota como A^-1. (Grossman & Flores, 2021, pág. 103.).

5. Función Determinante

5.1. Función que toma como dominio matrices cuadradas y las transforma en un número.

5.1.1. Para calcular las determinantes se emplean diferentes métodos dependiendo de la dimensión de la misma para hacer más eficiente el cálculo.

5.1.1.1. 2x2

5.1.1.1.1. Se multiplican los elementos de la diagonal principal y se resta la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

5.1.1.2. 3x3

5.1.1.2.1. 1. Aumentar las dos primeras filas o dos primeras columnas

5.1.1.2.2. 2. Realizar el producto entre elementos de las tres diagonales principales menos los productos de las tres diagonales secundarias que se forman.

6. Propiedades Determinantes

6.1. 1. Si a una fila o columna de una matriz A se multiplica por una constante K diferente de 0, entonces el determinante de esa nueva matriz es K veces el determinante de la matriz original.

6.2. 2. Si a A se le suma K veces otra fila, entonces el determinante de esta matriz tiene el mismo valor que el determinante de la matriz original.

6.3. 3. Si en A se intercambias dos filas, entonces el determinante de esta nueva matriz es el negativo del determinante de la original.

6.4. 4. Si A es una matriz triangular inferior, entonces el determinante de esta matriz es el producto de los elementos de su diagonal principal.

6.5. 5. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz.

6.6. 6. El determinante de una matriz que tiene una fila o una columna de 0 es igual a 0.

6.7. 7. Si entre dos filas o columnas son repetidas en una matriz, el determinante será 0.

6.8. 8. Si en una matriz, una de sus filas o columnas es múltiplo de otra fila o columna, entonces su determinante es 0.

6.9. 9. Si una matriz A es invertible y además si su determinante es diferente de 0, entonces el determinante de la matriz inversa es el inverso del valor del determinante de la matriz original.

7. Rango de una Matriz

7.1. "Número de unos principales de la forma escalonada reducida de la matriz A" (Corral. C, 2016).

7.2. En un sistema de ecuaciones lineales, sus soluciones se relacionan con el rango de la siguiente manera:

7.2.1. 1. Si tiene solución [Rango A = Rango(A;b)], existiendo dos casos:

7.2.1.1. a. Solución única el [Rango (A) = Rango (A; b)] = número de variables

7.2.1.2. b. Infinitas soluciones el [Rango (A) = Rango (A;b)] < número de variables

7.2.2. 2. No tiene solución [Rango (A) diferente de Rango (A;b)]

8. Referencias Bibliográficas:

8.1. Corral Ortega, C. (2016). El Rango de una Matriz. El Rango de una Matriz. Recuperado de: https://riunet.upv.es/handle/10251/66553

8.2. Grossman, S. & Godoy, J. (2012). Álgebra Lineal. (7ma ed.). México, D.F: Mc Graw Hill. Recuperado de: https://bibliotecavirtual.puce.elogim.com/reader/algebra-lineal-stanley-i-grossman-s-jose-job-flores-godoy?location=6