1. ¿Qué son?
1.1. Una matriz de m filas y n columnas es una tabla de m x n números reales ordenados en m filas y n columnas.
1.1.1. Al número real de una matriz "a"se le añaden los subíndices i y j, representando i la el nº de la fila, y j el nº de la columna
2. ¿Qué tipos hay?
2.1. Matriz fila: aqella que tiene una solo fila
2.2. Matriz columna: aquella que tiene una sola columna
2.3. Matriz nula/cero: todos los elementos de la matriz son ceros
2.4. Matriz cuadrada: aquella matriz que sus dimensiones son n x n, es decir el nº de columnas es el mismo que el de filas.
2.4.1. Tipos de matrices cuadradas
2.4.1.1. Matriz triangular superior: todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros
2.4.1.2. Matriz triangular inferior: Todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
2.4.1.3. Matriz diagonal: Todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son ceros
2.4.1.4. Matriz de identidad/unidad: La diagonal principal vale 1 y el resto de valores 0.
2.5. Matriz rectangular: sus dimensiones (n x m) son diferentes entre sí.
3. Matriz traspuesta
3.1. La matriz traspuesta se representa como A^t, si la matriz A es de dimension m x n, la matriz traspuesta A^t tendrá de dimensiones n x m, ya que las columnas pasan a ser filas y las filas pasan a ser columnas incluyendo sus valores.
3.2. Una matriz es simétrica cuando A=A^t y Una matriz es antisimétrica cuando A =/= A^t
4. Sus propiedades
4.1. Conmutativa: A + B = B + A
4.2. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
4.3. Elemento neutro: el elemento neutro del a suma es la matriz nula: A + 0 = A
4.4. Elemento opuesto: para cada matriz A, existe su matriz opuesta, -A, formada por los opuestos de los elementos de A
5. Producto de una matriz por un número
5.1. El producto de un número real k por una matriz A es otra matriz de la misma dimensión que A cuyos elemtnos se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de A por k
5.1.1. Si una matriz es diagonal y todos los elemtos de la diagonal son iguales podemos sacar factor común
6. Producto de matrices
6.1. El producto de una matriz A, de dimensión m x n, por otra matriz B, de dimensión n x p, es otra matriz, C, de dimensión m x p, cuyo elemento cᵢⱼ se obtiene al multiplicar la fila i-ésima de la primera matriz por la columna j-ésima de la segunda.
6.1.1. A * B = C, siendo cᵢⱼ = aᵢ1 * b1ⱼ+ aᵢ2 * b2ⱼ + ... + aᵢₘ * bₘⱼ
7. Propiedades del producto de matrices
7.1. Asociativa: (A * B) * C = A * (B * C)
7.2. Elemento neutro: Iₘ * A = A * Iₙ = A
7.3. Distributiva
7.3.1. Por la izquierda: A * (B + C) = A * B + A * C
7.3.2. Por la derecha: (B + C) * A = B * A + C * A
8. La regla de sarrus para calcular el determinante
8.1. dada la matriz 2x2
8.1.1. a b c d
8.1.1.1. hacemos a*d - d*c
8.2. dada la matriz 3x3
8.2.1. a b c d e f g h i
8.2.1.1. hacemos: a*e*i + b*f*g + d*h*c - c*e*g + d*b*i + a*h*f
9. Propiedades de los determinantes
9.1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta
9.2. Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas o columnas el determinante cambia de signo
9.3. Si en una matriz cuadrada multiplicamos por un mismo número todos los elementos de una misma fila o columna, su determiannte queda multiplicado por ese número
9.4. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, su determinante = 0
9.5. Si una fila o columna de una matriz cuadrada le sumamos una combinación lineal de las demás, su determiannte no varía.
9.6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es cero
9.7. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna que es combinación lineal de las demás, su determinante es 0
9.8. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes.
9.8.1. |A*B| = |A| * |B|
10. Matriz inversa
10.1. A^-1 = 1/|A| * Adj(A)^t
10.1.1. Sirve para identificar S.C.I
10.1.1.1. La matriz adjunta es aquella que cada elemento se sustituye por el adjunto, el e. adjunto es aquel elemnto a(ij) al menor complementario anteponiendo: El signo es + si i+j es par
11. El rango de una matriz
11.1. El rango de una matriz A al número de filas o columnas linealmente independientes.
11.1.1. Se puede calcular a través de Gauss o por determinantes
11.1.1.1. A través de Gauss convertimos la matriz inicial en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal sean ceros, utilizando las transformaciones elementales adecuadas