I numeri Naturali

Numeri Naturali

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I numeri Naturali da Mind Map: I numeri Naturali

1. Insieme di numeri che si indica con là lettere N

1.1. I numeri naturali possono essere:

1.1.1. Maggiori fra loro ( > )

1.1.2. Minori fra loro ( < )

1.2. Fra un numero naturale è un altro ci sono infiniti punti

1.2.1. Questi infiniti punti danno modo di individuare l’insieme dei numeri naturali come un insieme DISCRETO.

1.3. Non sempre in N esiste il risultato della sottrazione

2. Minimo comune multiplo ( mcm )

2.1. Massimo Comun Divisore ( MCD )

2.1.1. Consente la scomposizione in fattori primi

2.1.2. Si dicono primi i numeri naturali diversi da 0 e da 1, e che hanno come divisori soltanto se stessi e 1.

2.1.3. la scomposizione in fattori primi prende anche il nome di fattorizzazione.

2.1.4. Il MCD di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più grande dei divisori comuni, ognuno preso una sola volta, con l'esponente più piccolo.

2.1.5. L'Algoritmo di Euclide

2.1.5.1. Teorema di Euclide: " se due numeri naturali a e b, con a > b, sono divisibili per uno stesso numero c, allora anche a - b è divisibile per c.

2.1.5.1.1. Consideriamo a e b, con a > b, e calcoliamo a - b.

2.1.5.1.2. Se a - b = b, allora a - b è il MCD ( a,b )

2.1.5.1.3. Se a=58 e B=18, allora 58 -18=40, 40 - 18 = 22, 22 - 18 = 4, 18 - 4 = 14, 14 - 4 = 10, 10 - 4 = 6, 6 -4 = 2, 4 - 2 = 2.

2.2. Con l'Algoritmo di Euclide abbiamo visto che MCD tra 58 e 18 è 2. Quindi L'mcm ( 58, 18 ) = 58 x 18/2

2.2.1. Una proprietà tra MCD ed mcm

2.3. Il mcm è il prodotto tra tutti i fattori primi, comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente

3. Con i numeri naturali si eseguono le 4 operazioni di base che sono:

3.1. LE LETTERE NEI NUMERI:

3.1.1. Nella matematica le lettere offrono la possibilità di indicare un numero generico, senza indicarne uno specifico.

3.1.1.1. Quindi, quando vogliamo indicare un numero generico, possiamo utilizzare una lettera dell’alfabeto che prende il nome di VARIABILE NUMERICA.

3.2. Addizione

3.2.1. L’addizione è composta dal primo è dal secondo operando

3.2.1.1. Il risultato del addizione si chiama somma

3.2.2. l'addizione gode della proprietà commutativa, la quale dice che in una addizione, se si cambia l'ordine degli addenti, il risultato non cambia

3.2.2.1. l'addizione gode della proprietà associative, la quale dice che: "la somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine." ( a+b)+c = a+( b+c )

3.3. Sottrazione

3.3.1. La sottrazione è composta dal primo operando che si chiama minuendo

3.3.1.1. Il secondo operando si chiama Sottraneo

3.3.1.1.1. Il risultato della sottrazione si chiama differenza

3.3.1.1.2. La differenza è quel numero che addizionato al sottraendo da come somma il minuendo

3.3.2. la sottrazione gode della proprietà invariantiva, la quale dice che: " in una sottrazione, se si aggiunge o si toglie uno stesso numero diverso da 0, sia dal dividendo, sia dal divisore divisore, il quoziente non cambia.

3.4. Moltiplicazione

3.4.1. È composta dagli operando che prendono il nome di fattori

3.4.1.1. Il risultato della moltiplicazione prende il nome di prodotto

3.4.1.1.1. Nella moltiplicazione vale la legge di annullamento del prodotto, è perchè un prodotto sia 0 è necessario ed è sufficiente che sia 0 almeno uno dei suoi fattori.

3.4.2. Lo 0 è elemento assorbente della moltiplicazione

3.4.3. La moltiplicazione gode della proprietà commutativa, la quale dice che: in una moltiplicazione, se si cambia l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

3.4.3.1. La moltiplicazione gode della proprietà associativa, la quale dice che: "il prodotto di tre numeri non cambia se si associano diversamente i fattori, lasciando invariato il loro ordine." ( axb ) x c = a x ( bxc )

3.4.3.1.1. La moltiplicazione gode anche della proprietà distributiva rispetto all'addizione, la quale dice che: "quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo e poi si sommano i prodotti ottenuti, e il risultato non cambia. a x ( b + c ) = a x b + a x c

3.5. Divisione

3.5.1. Composta da il dividendo

3.5.1.1. È dal divisore

3.5.1.1.1. Il risultato si chiama Quoziente

3.5.2. Non è possibile la divisione con il uguale a 0.

3.5.3. Il numero 1 è elementi neutro della moltiplicazione

3.5.4. La divisione gode della proprietà distributiva rispetto all'addizione, la quale dice che: " quando si deve dividere un numero per una somma, si può dividere ciascun addendo per quel numero e poi sommare i quozienti ottenuti, e il risultato non cambia ( 20 + 4 ) : 2 = 20 : 2 + 4 : 2.

3.6. Addizione è moltiplicazione danno sempre come risultato un numero primo

3.7. Sottrazione e divisione sono chiamate operazioni inverse all’addizione e alla moltiplicazione

4. IL NUMERO 0:

4.1. Sommato a qualsiasi numero da come risultato il numero stesso, indifferentemente che si trovi al primo o al secondo addendo.

4.1.1. Nella moltiplicazione lo 0 basta che compaia una sola volta per annullare il prodotto

4.1.1.1. Per questo motivo lo 0 viene considerato un Elemento Neutro dell’addizione.

4.2. Lo 0 è un numero che moltiplicato per qualsiasi numero dà come risultato se stesso

4.2.1. Per questa ragione viene definito come ELEMENTO ASSORBENTE DELLA MOLTIPLICAZIONE.

4.3. IL NUMERO 1:

4.3.1. Moltiplicando qualsiasi numero per il numero 1, si ottiene come risultato il numero stesso.

4.3.1.1. Per questa ragione si dice che 1 è elemento neutro della moltiplicazione

4.3.1.1.1. Non differisce il fatto che 1 sia al primo o al secondo membro.

5. LE POTENZE:

5.1. Sono moltiplicazioni dove tutti i fattori sono uguali fra loro

5.1.1. 2x2x2x2=2^4

5.1.2. Il 2^4 si usa per evitare scritture molto lunghe come 2x2x2x2.

5.1.3. In 2^4, due è la base è quattro è l’esponente.

5.1.3.1. Se l'esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall'esponente, tutti uguali alla base.

5.2. Esistono potenze con esponente 0 ed esponente 1.

5.2.1. Elevando un numero alla 0 un numero naturale diverso da 0, si ottiene 0.

5.2.1.1. Elevando alla 1 un numero naturale si ottiene il numero stesso.

5.2.2. La potenza con base 0 ed esponente 0 è una potenza indefinita.

5.3. Le potenze godono di 5 proprietà fondamentali:

5.3.1. Prima proprietà delle potenze: " il prodotto di potenza di uguale base è una potenza con la stessa base avente come esponente la somma degli esponenti. a^n x a^m = a^n+m

5.3.2. Seconda proprietà delle potenze: "il quoziente di potenza di uguale base, con l'esponente della seconda minore o uguale all'esponente della prima e con la base diversa da 0, è una potenza con la stessa base che ha come esponente la differenza degli esponenti. a^n : a ^m = a^n-m

5.3.3. Terza proprietà delle potenze: "la potenza di una potenza è una potenza che hala stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. ( a^n )^m = ( a )^n x m.

5.3.4. Quarta proprietà delle potenze: "il prodotto di potenze ddi uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi, e per esponente lo stesso esponente. a^n x b^n = ( a x b )^n

5.3.5. Quinta proprietà delle potenze: " il quoziente di potenze di uguale esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle base e per esponente lo stesso esponente. a^n : b^n = ( a : b )^n