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La Integral por Mind Map: La Integral

1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL: La operación inversa de la derivación se llama integración. Mediante la integración encontramos la función cuya derivada es dada. La función que se encuentra se llama antiderivada o integral indefinida.

2. EL SÍMBOLO DE LA INTEGRAL: se obtiene alargando la letra S, debido a que la integral está emparentada con la suma. La función f(x) es el integrando, el símbolo dx se usa para indicar que x es la variable de integración , también se puede interpretar como la diferencial de x.

3. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN: Es la aplicación de la regla de la cadena al Cáculo de integrales.

4. INTEGRACIÓN POR PARTES: La fórmula de la diferencial de un producto , nos permite obtener otra técnica para transformar integrales, llamada integral por partes ; su uso radica en el hecho de que nos permite cambiar una integral complicada por una integral simple.

5. TEOREMA: Si u=u(x) y v=v(x), son funciones diferenciables , entonces: d(uv) = du v + udv y d(uv) = v du + u dv.

6. La Regla de ILATE Es una regla práctica la cual se ordena en forma descendiente de acuerdo a la dificultad para hallar su antiderivada. Las Funciones se expresan: I = Inversas Trigonométricas, L = Logaritmicas, A = Algebraicas, T= Trigonométricas, E = Exponenciales. Esta regla expresa el integrando como como el producto de dos funciones de distinta clase.

7. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES: Una función racional es una función que consiste de dos polinomios . Esto es, R(x) = P(x)/Q(x) donde: P(x) y Q(x) son polinomios que se descomponen en una suma de fracciones racionales mas simples, llamadas fracciones parciales o fracciones simples.

8. Sea R(x)= P(x)/Q(x); Sean n=grado de P y m=grado de Q. Entonces: 1.- Si n es Menor que m, se dice que R(x) es una Función Propia. 2.- Si n es mayor o igual que m, se dice que R(x) es una Función Impropia.

9. CASO I: Funciones Lineales Distintas: Todos los factores del denominador son lineales y ninguno se repite: Q(x)=(a1X+b1)(a2x+b2).....(anx+bn). CASO II: Factores Lineales Repetidos: Todos los factores del denominador son lineales y algunos se repiten. CASO III: Factores Cuadraticos Distintos: El denominador Q(x)tiene factores cuadráticos irreductibles y cada factor aparece con exponente n=1. CASO IV: Factores de Segundo grado repetidos: Q(x) tiene factores de segundo grado irreductibles que se repite.

10. Integrales Racionales de Seno y Coseno: Karl Weierstrass descubrió que la sustitución z=tan(x/2) transforma funciones racionales de Sen x y Cos x en funciones racionales ordinarias de z.

11. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES EN x. Donde R es una función racional y los exponentes son números racionales; se hace el cambio de variable x=z´n, donde n es el mínimo común múltiplo de los denominadores

12. INTEGRAL TRIGONOMÉTRICA: En ella aparecen las funciones: Senx, Cosx, tanx, pueden aparecer dentro de una expresión racional P/Q, se hacen cambios entre ellos: tg (x/2) = t y se transforman en integrales racionales.

13. INTEGRAL INDEFINIDA: ANTIDERIVADA Una función F es una antiderivada o una primitiva de la función f es un intervalo I si: F´(x) = F (x) para todo valor de x en I.

14. TEOREAMA: Forma General de la Antiderivada: Si F es una antiderivada de F en el intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en I entonces pertenece a C, constante, tal que: G(x) = F(x) + C, para todo valor de x en I.

15. INTEGRAL HIPERBÓLICA: Se aplican las mismas que las funciones trigonométricas, debido a que las identidades y las derivadas de ambas funciones tienen la misma forma, diferenciándose, en algunos casos, sólo en signo.

16. INTEGRAL DEFINIDA: Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b], entonces la integral definida de f de a hasta b, está dada por el integrado f(x), donde: a es el limite inferior y b el limite superior. OBSERVACIÓN: La Integral Definida es un número, mientras que la integral indefinida es una función.

17. Teorema de Integrabilidad: Si la función es acotada en [a,b] y si es continua en este intervalo, con excepción de un número finito de puntos, entonces f es integrable en [a,b]. En particular, si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces es integrable en [a,b].

18. INTEGRALES IMPROPIAS: Cuando calculamos la integra<l de a hasta b de f(x)dx consideramos a y b, como valores finitos, ahora necesitamos dos sentidos a la integral usando a y/o b son infinitos; es decir, cuando el intervalo de integración es infinito.