1. EL SÍMBOLO DE LA INTEGRAL: se obtiene alargando la letra S, debido a que la integral está emparentada con la suma. La función f(x) es el integrando, el símbolo dx se usa para indicar que x es la variable de integración , también se puede interpretar como la diferencial de x.
2. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN: Es la aplicación de la regla de la cadena al Cáculo de integrales.
3. TEOREMA: Si u=u(x) y v=v(x), son funciones diferenciables , entonces: d(uv) = du v + udv y d(uv) = v du + u dv.
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES: Una función racional es una función que consiste de dos polinomios . Esto es, R(x) = P(x)/Q(x) donde: P(x) y Q(x) son polinomios que se descomponen en una suma de fracciones racionales mas simples, llamadas fracciones parciales o fracciones simples.
5. CASO I: Funciones Lineales Distintas: Todos los factores del denominador son lineales y ninguno se repite: Q(x)=(a1X+b1)(a2x+b2).....(anx+bn). CASO II: Factores Lineales Repetidos: Todos los factores del denominador son lineales y algunos se repiten. CASO III: Factores Cuadraticos Distintos: El denominador Q(x)tiene factores cuadráticos irreductibles y cada factor aparece con exponente n=1. CASO IV: Factores de Segundo grado repetidos: Q(x) tiene factores de segundo grado irreductibles que se repite.
6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES EN x. Donde R es una función racional y los exponentes son números racionales; se hace el cambio de variable x=z´n, donde n es el mínimo común múltiplo de los denominadores
7. TEOREAMA: Forma General de la Antiderivada: Si F es una antiderivada de F en el intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en I entonces pertenece a C, constante, tal que: G(x) = F(x) + C, para todo valor de x en I.
8. INTEGRAL DEFINIDA: Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b], entonces la integral definida de f de a hasta b, está dada por el integrado f(x), donde: a es el limite inferior y b el limite superior. OBSERVACIÓN: La Integral Definida es un número, mientras que la integral indefinida es una función.
9. Teorema de Integrabilidad: Si la función es acotada en [a,b] y si es continua en este intervalo, con excepción de un número finito de puntos, entonces f es integrable en [a,b]. En particular, si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces es integrable en [a,b].
10. DEFINICIÓN DE INTEGRAL: La operación inversa de la derivación se llama integración. Mediante la integración encontramos la función cuya derivada es dada. La función que se encuentra se llama antiderivada o integral indefinida.
11. INTEGRACIÓN POR PARTES: La fórmula de la diferencial de un producto , nos permite obtener otra técnica para transformar integrales, llamada integral por partes ; su uso radica en el hecho de que nos permite cambiar una integral complicada por una integral simple.
12. La Regla de ILATE Es una regla práctica la cual se ordena en forma descendiente de acuerdo a la dificultad para hallar su antiderivada. Las Funciones se expresan: I = Inversas Trigonométricas, L = Logaritmicas, A = Algebraicas, T= Trigonométricas, E = Exponenciales. Esta regla expresa el integrando como como el producto de dos funciones de distinta clase.
13. Sea R(x)= P(x)/Q(x); Sean n=grado de P y m=grado de Q. Entonces: 1.- Si n es Menor que m, se dice que R(x) es una Función Propia. 2.- Si n es mayor o igual que m, se dice que R(x) es una Función Impropia.
14. Integrales Racionales de Seno y Coseno: Karl Weierstrass descubrió que la sustitución z=tan(x/2) transforma funciones racionales de Sen x y Cos x en funciones racionales ordinarias de z.
15. INTEGRAL TRIGONOMÉTRICA: En ella aparecen las funciones: Senx, Cosx, tanx, pueden aparecer dentro de una expresión racional P/Q, se hacen cambios entre ellos: tg (x/2) = t y se transforman en integrales racionales.
16. INTEGRAL INDEFINIDA: ANTIDERIVADA Una función F es una antiderivada o una primitiva de la función f es un intervalo I si: F´(x) = F (x) para todo valor de x en I.
17. INTEGRAL HIPERBÓLICA: Se aplican las mismas que las funciones trigonométricas, debido a que las identidades y las derivadas de ambas funciones tienen la misma forma, diferenciándose, en algunos casos, sólo en signo.
18. INTEGRALES IMPROPIAS: Cuando calculamos la integra<l de a hasta b de f(x)dx consideramos a y b, como valores finitos, ahora necesitamos dos sentidos a la integral usando a y/o b son infinitos; es decir, cuando el intervalo de integración es infinito.
