1. 1. Ley uniforme, de cerradura o clausurativa (operación interna): esta propiedad se cumple para las operaciones que dado dos números reales el resultado de la operación también es un número real. Esto significa que la suma, la resta, la multiplicación y la división (si el divisor no es cero) son operaciones internas en los reales. 2. Conmutativa: esta propiedad se cumple para las operaciones donde no importa el orden en que se efectúan. Por ejemplo, en la suma y la multiplicación, no importa el orden en que se realice la operación el resultado no cambia. Por eso la suma y la multiplicación cumplen la propiedad conmutativa. La resta y la división no cumplen esta propiedad. 3. Asociativa: esta propiedad se cumple para las operaciones donde no importa la forma en que se asocien dos a dos los números que se operan. En la suma y la multiplicación, no importa la forma como se asocien dos a dos los sumandos o los factores, el resultado no cambia. Por eso la suma y la multiplicación cumplen la propiedad asociativa. La resta y la división no.
1.1. 4. Identidad o elemento neutro: todo número real que se sume con cero o se multiplique por uno (1) da como resultado el mismo número. . Por eso el cero es la identidad o elemento neutro para la suma y el uno para la multiplicación. 5. Simétrico o inverso: a) Inverso aditivo u opuesto: siempre que se suma un número real con su opuesto el resultado es el elemento neutro de la suma (cero); es decir, a a a a ( ) 0 b) Inverso multiplicativo o recíproco: siempre que se multiplica un número real, diferente de cero, por su recíproco el resultado es el elemento neutro de la multiplicación (1); es decir, siendo a ≠ 0. 6. Distributiva: a) De la multiplicación respecto a la suma y la resta: la multiplicación distribuye a la suma y a la resta. b) De la división respecto a la suma y la resta: la división distribuye a la suma y a la resta, pero sólo por la izquierda. c) De la potenciación con respecto a la multiplicación y la división: la potenciación distribuye a la multiplicación y a la división. d) De la radicación con respecto a la multiplicación y la división: la radicación distribuye a la multiplicación y a la división.
2. Racionales Q
2.1. Al dividir un número entero entre otro entero el resultado no siempre es un entero (por ejemplo 3 ÷ 5 = 0.6 = 3 5 ). Por esta razón hubo la necesidad de extender el conjunto Z de forma que se pudieran realizar todo tipo de divisiones (donde el divisor es diferente de cero). Este nuevo conjunto es el de los números racionales que se representa por
2.1.1. Son racionales porque todos los numeros incluyendo los N y Z se pueden expresar como una razon es decir un valor P / Q
2.1.1.1. Propiedades de los Números Racionales: 1. Es un conjunto ordenado e infinito. 2. Es un conjunto denso, esto significa que entre dos números racionales cualesquiera siempre podemos encontrar infinitos números racionales. 3. Las operaciones internas en el conjunto de los números racionales son la suma, la resta y la multiplicación. La división es interna si no tomamos en cuenta el cero, ya que la división entre cero no está definida.
3. Reales R
3.1. Son todos los nmeros que pueden ser expresados como un numero racional o como un numero irracional
3.1.1. Si se considera al conjunto de los numeros reales como conjunto de referencia o universo entonces se puede afirmar que los numeros irracionales es el complemento del conjunto de los numeros racionales . Por lo tanto : R= Q u Q'
4. Naturales N
4.1. Es un numero cualquiera N=[1,2,3,4],que sirve para contar los elementos que existan en un conjunto
4.1.1. Propiedades de los Números Naturales: 1. Es un conjunto ordenado; es decir, entre sus elementos podemos establecer la relación de orden “menor que”, “mayor que” o “igual a” (<, > =). 2. A todo número natural siempre le sigue otro número natural. 3. El conjunto de los números naturales es infinito, es decir, no hay un último número natural. 4. Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural. Página 3 5. las operaciones internas en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación, ya que siempre que se sume o se multipliquen dos números naturales el resultado es otro número natural.
5. Enteros Z
5.1. El conjunto de los números enteros es una extensión de los números naturales que surgió por la necesidad de plantear cualquier tipo de sustracción (resta). Con los números naturales no podemos efectuar restas donde el minuendo es menor que el sustraendo, (por ejemplo 5 – 9). Los números enteros resuelven este problema y con ellos podemos efectuar cualquier resta.
5.1.1. El conjunto de los números enteros están formado por los enteros positivos Z que son los mismos naturales, el cero y los enteros negativos Z
5.1.1.1. Propiedades de los Números Enteros: Los números enteros poseen las mismas propiedades de los naturales y además de la suma y la multiplicación, la resta es una operación interna en este conjunto
6. Irracionales
6.1. Son todos los numeros que no se pueden expresar como unarazon entre dos numeros enteros y que pertenecen al conjunto de los numeros reales
6.1.1. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como una fracción decimal periódica infinita.
6.1.1.1. EJ: √7 = 2,645751311064591