1. Majorantes e Minorantes de um conjunto não vazio de números reais
1.1. Dado um conjunto A, não vazio, de números reais, diz-se que:
1.1.1. - Um número real M é majorante de A se Ɐ a ϵ Aa, a≤M
1.1.2. - Um número real M é minorante de A se Ɐa ϵ A, a≥M
1.1.3. A é majorado se tem majorantes e minorado se tem minorantes
1.1.4. A é limitado se é majorado e minorado
2. Generalidades acerca de Sucessões
2.1. Sucessões Numéricas
2.1.1. Uma sucessão real é uma função u de domínio ℕ e conjunto de chegada ℝ
2.1.2. U: ℕ ----> ℝ
2.1.3. n ---> Un
2.1.4. A imagem de n ϵ ℕ por u, ou seja, u(n), pode ser representada por un - chamado termo geral da sucessão
2.1.5. O gráfico de uma sucessão (un) é constituído pelo conjunto de pares ordenados (n, un) , com n ϵ ℕ
2.2. Sucessões Monótonas
2.2.1. Uma sucessão (un) é crescente se e só se Ɐn ϵ ℕ, un+1 > un (crescente em sentido lato se e só se Ɐn ϵ ℕ, un+1 ≥ un)
2.2.2. Uma sucessão (un) é decrescente se e só se Ɐn ϵ ℕ, un+1 < un (decrescente em sentido lato se e só se Ɐn ϵ ℕ, un+1 ≤ un)
2.3. Sucessões Limitadas
2.3.1. Uma sucessão (un) diz-se limitada quando é majorada e minorada. Neste caso existem números reais m e M, tais que: Ɐn ϵ ℕ, m ≤ un ≤ M
3. Progressões Aritméticas e Geométricas
3.1. Progressões Aritméticas
3.1.1. Definição: Dados dois números reais a e r, uma sucessão (un) diz-se progressão aritmética de primeiro termo a e razão r se, definida por recorrência, é tal que u1=a ∧ Ɐn ϵ ℕ, un+1 = un+r
3.1.2. Termo geral: o termo geral da progressão aritmética (un) de razão ré dado por:
3.1.2.1. Ɐn ϵ ℕ, un=u1 + (n-1)r
3.1.3. Termo geral: Dada uma progressão aritmética (un) de razão r e um termo up, tem-se:
3.1.3.1. un =up + (n-p)r
3.1.4. Dado N ϵ ℕ, a soma de os termos de uma progressão aritmética de comprimento N, (u1, u2,..., uN), é dada por:
3.1.4.1. S(N)=∑_(i=1)^N▒〖ui=(u1+uN)/2 X N〗
3.2. Progressões Geométricas
3.2.1. Definição: Dados dois números reais a e r, uma sucessão (un) diz-se uma progressão geométrica de primeiro termo a e razão r se, definida por recorrência, é tal que u1 = a ∧ Ɐn ϵ ℕ, un+1 = un x r
3.2.2. Termo Geral: o termo geral da progressão (un) de razão r, não nula é dado por:
3.2.2.1. Ɐn ϵ ℕ, un=u1 X r ^ (n-1)
3.2.3. Termo geral: Dada uma progressão geometrica (un) de razão r, não nula, e um termo up tem-se:
3.2.3.1. un=upXr^n-p
3.2.4. Soma de um número finito de termos de uma sucessão geométrica
3.2.4.1. Se (un) é uma progressão geométrica de razão r ≠ 1, então a soma dos N primeiros termos, S(N) , é dada por:
3.2.4.1.1. S(N)=u1 X (1-r^N)/(1-r);r≠1
3.2.4.2. Nota: se r=1, todos os termos são iguais ao primeiro, tendo-se S(N) = u1
4. Limite de uma Sucessão
4.1. Definição de limite de uma sucessão
4.1.1. Dada uma sucessão (un) um número real a diz-se limite da sucessão (un), quando para todo o δ>0, existe uma ordem p ϵ ℕa partir da qual se tem | un-a | < δ
4.1.1.1. Ɐn ϵ ℕ, n≥p --->|un-a|<δ
4.1.2. Quando existe um número real a nestas condições, a sucessão (un) diz-se convergente (lim un=a)
4.1.3. Uma sucessão diz-se divergente quando não é convergente
4.1.4. Seja (un) uma sucessão constante. Ɐn ϵ ℕ, un=k, k ϵ ℝ.
4.1.4.1. lim un=lim k= k
4.1.5. Propriedade: Se uma sucessão (un) é uma sucessão convergente, então tem um único limite.
4.1.6. Limites Infinitos
4.1.6.1. Uma sucessão (un) tem limite +∞ , quando para todo o L>0, existe um p ϵ ℕ tal que, Ɐn ϵ ℕ, n≥p ---> un>L
4.1.6.1.1. Representa-se por: lim┬(n→∞)〖u_n 〗=+ ∞ ou lim┬n〖u_n 〗=+ ∞ ou lim un= +∞
4.1.6.2. Uma sucessão (un) tem limite - ∞, quando para todo o L>0, existe um p ϵ ℕ tal que, Ɐn ϵ ℕ , n≥p ---> un<- L
4.1.6.2.1. Representa-se por: lim┬(n→∞)〖u_n 〗= - ∞ ou lim┬n〖u_n 〗= -∞ ou lim un= -∞
4.1.7. Sucessões que diferem num número finito de termos
4.1.7.1. Sejam (un) e (vn) duas sucessões que diferem num número finito de termos.
4.1.7.1.1. Se lim un=k (podendo ser +∞ ou -∞), então lim vn = lim un=k
4.1.7.1.2. Se (un) não tem limite, então (vn) também não tem limite.
4.2. Sucessões monótonas, limitadas e convergentes
4.2.1. Nota: toda a sucessão convergente é limitada
4.2.1.1. Se uma sucessão é crescente em sentido lato e majorada, é então convergente
4.2.1.2. Se uma sucessão é decrescente em sentido lato e minorada, é então convergente
4.2.1.3. Sendo (un) uma sucessão monótona e limitada, é então convergente
4.2.2. Nem toda a sucessão limitada é convergente
4.2.2.1. Dadas sucessões (un) e (vn), de un é limitada e lim vn= 0 , então lim (un vn)=0
4.2.2.2. Dada uma sucessão (un) de termo geral un=(an+b)/(cn+d) , a, b, c e d números reais e cn+d ≠ 0 , tem-se:
4.2.2.2.1. Se c≠0, lim (an+b)/(cn+d) = a/c
4.2.2.2.2. Se c=0 e a/d>0 , lim (an+b)/(cn+d) =+∞
4.2.2.2.3. Se c=0 e a/d<0 , lim (an+b)/(cn+d) = - ∞
4.2.2.2.4. Se a=c=0, lim (an+b)/(cn+d) = b/d
4.2.3. Limites de Sucessões do tipo un=n^p , p ϵ ℚ
4.2.3.1. Se p ϵ ℚ e (un) é uma sucessão termo geral un=n^p , então tem-se: lim (n^p)= 1 se p=0 ∧ lim (n^p)=+∞ se p>0 ∧ lim (n^p)=0 se p<0
4.3. Operações algébricas com sucessões
4.3.1. Dadas duas sucessões (un) e (vn) considera-se soma, diferença, produto e quociente de (un) e (vn) da seguinte forma:
4.3.1.1. Soma: (un) + (vn) = (un+vn)
4.3.1.2. Diferença: (un) - (vn) = (un - vn)
4.3.1.3. Produto: un) x (vn) = (un.vn)
4.3.1.4. Quociente: (un)/(vn) = (un/vn) , com vn ≠ 0
4.3.2. Limite da soma de sucessões convergentes
4.3.2.1. Dadas duas sucessões (un) e (vn) convergentes tais que lim (un) =a e lim (vn)=b , tem-se lim (un+vn)=a+b
4.3.3. Limite de produto de sucessões convergentes
4.3.3.1. Dadas (un) e (vn) sucessões convergentes, com lim un=a e lim (vn)=b , a sucessão (un vn) é convergente e lim (un vn)= ab
4.3.3.2. Nota: Em particular, se k ϵ ℝ lim (kun)= k lim (un)= ka
4.3.4. Limite do inverso e do quociente de sucessões convergentes
4.3.4.1. Dadas as sucessões (un) e (vn) convergentes, com lim (un)=a e lim (vn)= b , em que Ɐn ϵ ℕ , vn ≠ 0 e b≠ 0, tem-se:
4.3.4.1.1. lim (1/vn)= 1/lim (vn) = 1/b
4.3.4.1.2. lim (un/vn)= un/lim (vn) = a/b
4.3.5. Limite da potência de uma sucessão convergente com expoente racional
4.3.5.1. Seja (un) uma sucessão convergente e r ϵ ℚ. Mostra-se que:
4.3.5.1.1. Dadas sucessões (an) , (bn) e (cn) tais que: lim (an)= -∞ ; lim (bn)= b ϵ ℝ ; lim (cn)= -∞ , tem-se:
4.3.5.1.2. Se r ϵ ℕ ou se os termos da sucessão forem todos não negativos e r>0 , ou ainda se os termos da sucessão forem todos positivos, então se são de termo geral (un)^r é convergente e lim (un)^r = (lim un)^r
4.4. Operações com infinitamente grandes
4.4.1. Limite da soma de infinitamente grandes
4.4.1.1. Dadas sucessões (un) , (vn) e (wn) tais que: lim (un)= +∞ ; lim (vn)= a ϵ ℝ ; lim (wn)= +∞ , tem-se:
4.4.1.1.1. lim (un+vn) = +∞ + a = +∞
4.4.1.1.2. lim (un+wn) = +∞ + (+∞) = +∞
4.4.2. Limite do produto de infinitamente grandes
4.4.2.1. Sejam (un) e (vn) sucessões tais que: lim (un) = +∞ e lim (vn)=+∞. Então, lim (un.vn)= +∞
4.4.2.2. Exemplo:
4.4.2.2.1. Sejam un=2n e vn=n^2. Lim(un x vn)= lim (2n x n^2) = lim(2n) x lim (n^2) =+∞ x (+∞)= +∞
4.4.3. Limite da potência de infinitamente grandes
4.4.3.1. Seja (un) um infinitamente grande e r ϵ ℚ prova-se que:
4.4.3.1.1. Se lim (un) = +∞, Ɐn ϵ ℕ, un ≥ 0 e r ϵ ℚ , então lim (un^r) = (+∞)^r = +∞
4.4.3.1.2. Se lim (un) = -∞, r ϵ ℕ e é par, então lim (un^r) = (-∞)^r = +∞
4.4.3.1.3. Se lim (un) = -∞, r ϵ ℕ e é impar, então lim (un^r) = (-∞)^r = -∞
4.4.4. Símbolo de indeterminação
4.4.4.1. +∞ + (-∞)
4.4.4.2. ∞ x 0
4.5. Inverso de um infinitésimo e inverso de um infinitamente grande
4.5.1. Inverso de um infinitésimo
4.5.1.1. No caso geral:
4.5.1.1.1. Se un é um infinitésimo de termos não nulos, então 1/un é um infinitamente grande
4.5.1.1.2. Se lim (un)=0^+ , então lim 1/un =+∞ (representa-se por 1/0^+ = +∞)
4.5.1.1.3. Se lim (un)=0^- , então lim 1/un =-∞ (representa-se por 1/0^ - = -∞)
4.5.2. Inverso de um infinitamente grande
4.5.2.1. No caso geral:
4.5.2.1.1. Se (un) é um infinitamente grande, de termos não nulos, então 1/un é um infinitésimo.
4.5.2.1.2. Se lim (un)= +∞ , então lim 1/un =0^+ (representa-se por 1/+∞ = 0^+)
4.5.2.1.3. Se lim (un)= -∞ , então lim 1/un =0^- (representa-se por 1/-∞ = 0^-)
4.5.3. Símbolos de indeterminação
4.5.3.1. 0/0
4.5.3.2. ∞/∞
4.5.3.3. Diferentes resultados para os limites
4.5.3.3.1. un ---> 0 e vn ---> 0
4.5.3.3.2. un ---> ∞ e vn ---> ∞
4.5.3.3.3. un ---> 0 e vn ---> ∞
4.5.3.3.4. un ---> ∞ e vn ---> 0^+ ou vn ---> 0^-
4.5.4. Limites de sucessões definidas por polinómios
4.5.4.1. Seja a o coeficiente do termo de maior grau de um polinómio P(x) de grau maior ou igual a 1. Se un=P(n) n ϵ ℕ, tem-se:
4.5.4.1.1. lim un= +∞ , se a>0
4.5.4.1.2. lim wn= -∞ , se a<0
4.5.5. Levantar indeterminações
4.5.5.1. Sejam P(x) e Q(x) dois polinómios de graus, respetivamente, p e m. Os termos de maior grau de cada um dos polinómios são, respetivamente, ax^p e bx^m. Se un= P(n) n ϵ ℕ e vn= Q(n) n ϵ ℕ , tem-se lim (un/vn)= lim an^p/bn^m.
4.5.5.1.1. Se p=m, lim (un/vn)= a/b
4.5.5.1.2. Se p>m, lim (un/vn)= a x (+∞)/b= ∞
4.5.5.1.3. Se p<m, lim (un/vn)= a /b x (+∞)= 0
4.5.5.2. Seja (un) a sucessãoi de termo geral un= a^n , a>0. Em relação a lim un= lim (a^n) , tem-se:
4.5.5.2.1. Se a>1 , lim (a^n)= +∞
4.5.5.2.2. Se 0<a<1 , lim (a^n)= 0
4.5.5.2.3. Se a=1 , lim (a^n)= 1
5. Sucessões definidas por recorrência
5.1. Dada uma função f: A --->A e a ϵ A, existe uma única sucessão (un) tais que:
5.2. u1 = a ∧ un+1 = f (un), Ɐn ϵ ℕ
5.2.1. Diz-se que un está definida por recorrência