1. Equação modular
1.1. Equações são expressões matemáticas algébricas que possuem uma ou mais incógnitas, sempre apresentadas com o sinal de igualdade. Equação modular se enquadra neste conceito geral, mas no caso das modulares, as incógnitas se encontram dentro do módulo; dessa forma, devemos respeitar as condições do módulo de um número, que é a seguinte: |x| = x, se x ≥ 0 -x, se x < 0
1.1.1. Exemplo 1 |x| = 6 Para descobrir o valor de x devemos pensar da seguinte forma: um número real terá sempre um valor positivo como resultado do seu módulo, e 6 é positivo, mas o valor de x poderá ser +6 ou –6, pois |+6| = 6 e |–6| = 6, portanto, x = 6 ou x = –6
2. Radiciação
2.1. Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número. Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja: n√a= b estamos dizendo que, quando calculamos b^n, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.
3. Inequação exponencial
3.1. Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Confira alguns exemplos: 4x + 4 > 5 . 2x 2x ≥ 128
3.1.1. As inequações são usadas para determinar um intervalo de modo que a desigualdade de certas expressões seja válida. Quando falamos de inequações exponenciais devemos saber que as desigualdades entre os números dependerão do expoente de cada número, por exemplo: 22<23, pois são números de mesma base numérica, mas cujo expoente de um destes números é menor do que o outro. Entretanto, esse foi um exemplo de uma desigualdade predeterminada, que não gera uma inequação exponencial. Para obtermos uma inequação, devemos ter um valor desconhecido que deve ser encontrado. Veja: 2x<23 Perceba que nesta desigualdade não conhecemos o valor de x, mas através do sinal de desigualdade somos capazes de analisar os dois números e descobrir quais são os valores para x, que faz com que 2x seja menor do que 23. Neste caso, são dois números de mesma base, portanto, podemos passar a desigualdade que está relacionada aos números da base para os expoentes e, assim, obteremos a seguinte desigualdade: x<3. Ou seja, 2x será sempre menor do que 23 quando o valor de x for menor do que 3. Sendo assim, o estudo de inequações exponenciais está diretamente relacionado à base do número que está na desigualdade. Com isso, teremos duas formas diferentes para analisar a desigualdade dos expoentes, de forma que cada uma dependerá da base do número. Note que a análise da inequação exponencial baseia-se em números de bases iguais. Sendo assim, quando nos depararmos com incógnitas nos expoentes, no meio de desigualdades, devemos encontrar números de bases iguais para podermos comparar seus expoentes.
4. Inequação modular
4.1. Para compreender bem o que é uma inequação modular, é necessário saber cada um dos seus termos, ou seja, o que é uma inequação e o que é o módulo de um número. Chamamos de inequação uma expressão matemática que envolve uma desigualdade (<, ≤, >, ≥). O módulo de um número nada mais é que a distância desse número até zero, logo, ele é sempre um número positivo. Representamos o módulo de um número n da seguinte maneira |n|. Então, inequação modular é uma expressão que possui os dois elementos, ou seja, o módulo e a desigualdade. O nosso interesse ao depararmo-nos com uma inequação modular é encontrar o seu conjunto de soluções, e, para isso, é importante compreendermos a definição do módulo.
4.2. Uma inequação será conhecida como modular quando ela for uma expressão que possui uma ou mais incógnitas dentro do módulo. Exemplos: |x| > 2 |x+1| < -5 6 ≤ |2 - x| Note que em todas as expressões existe um símbolo de desigualdade e também o símbolo do módulo. Uma inequação possui sempre um conjunto de soluções, então, resolver a inequação modular é encontrar esse conjunto de soluções.
5. Definição
5.1. Função modular é toda função dos reais para os reais, escrita pela lei f(x) = |x|, sendo caracterizada da seguinte forma: f(x) = x, se x ≥ 0 -x, se x < 0
6. Propriedades do módulo
6.1. Considere a,b números reais quaisquer; destacamos abaixo algumas propriedades que o módulo oferece: I) O resultado de um módulo sempre é positivo. |a|≥0 II) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto. |a|=|−a| III) O módulo do produto é o produto dos módulos. |a⋅b|=|a|⋅|b| IV) O quadrado do módulo de um número é simplesmente o quadrado deste número; em outras palavras, elevar ao quadrado faz o módulo “sumir”. |a|2=a2 V) (Desigualdade triangular) O módulo de uma soma é menor ou igual à soma dos módulos. |a+b|≤|a|+|b|
7. Definição
7.1. Equação é uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Ela foi criada para ajudar as pessoas a encontrarem soluções para problemas nos quais um número não é conhecido. Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, por exemplo, é possível encontrar esses dois números por meio de equações
8. Equação exponencial
8.1. Uma equação exponencial é uma expressão algébrica que possui uma igualdade e pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes. Para ser considerada equação, uma expressão precisa ter pelo menos uma incógnita, que é um número desconhecido representado por uma letra, e uma relação de igualdade. Dessa maneira, as equações exponenciais são aquelas que possuem pelos menos uma incógnita no expoente e bases positivas diferentes de 1. Assim, são exemplos de equações exponenciais: 4x + 2 + 16x = 8 16x + 42x = 32
8.1.1. Resolver uma equação é encontrar o valor numérico das incógnitas que aparecem nela. Para isso, é preciso ter clareza sobre os seguintes conteúdos: Resolução de equações do primeiro grau; Propriedades de potências. Além disso, existe uma propriedade das equações exponenciais que é indispensável para sua resolução: ax = ay ↔x = y (a > 0 e a diferente de 1) O que essa propriedade garante é que, se duas potências de mesma base são iguais, os expoentes dessas potências também são. Veja um exemplo: 3x = 27 Observe que 27 é igual a 33. Substituindo esse valor na equação, teremos: 3x = 33 Note que as bases são iguais. Agora podemos usar a propriedade das equações exponenciais e escrever: x = 3
9. Função exponencial
9.1. Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um. Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante. Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida. Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor. Exemplos: f(x) = 4x f(x) = (0,1)x f(x) = (⅔)x Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.
9.1.1. Função Crescente ou Decrescente A função exponencial pode ser crescente ou decrescente. Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente. Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
10. Potenciação
10.1. A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma: an = a . a . a . a … a = base n = expoente a . a . a . a … = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência
10.1.1. Base real e expoente inteiro Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo. Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Acompanhe alguns exemplos: 2+2 = 2 . 2 = 4 0,3+3 = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027 (½ )+2 = ½ . ½ = ¼
10.1.2. Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Observe alguns exemplos: 2-2 = 1 = 1 . 1 = 1 2+2 2 2 4
10.1.2.1. Expoente igual a 1 Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo: a1 = a 21 = 2 41 = 4 1001 = 100
10.1.2.1.1. Expoente igual a 0
10.1.2.1.2. Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:
10.1.2.1.3. a0 = 1
10.1.2.1.4. 10000 = 1
10.1.2.1.5. 250 = 1