Trigonometria

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Trigonometria por Mind Map: Trigonometria

1. Identidades trigonométricas

1.1. As identidades trigonométricas são relações existentes entre as razões trigonométricas. Durante a resolução de problemas, é bastante comum utilizarmos essas identidades para facilitar os cálculos.

1.1.1. Relação fundamental da trigonometria: sen²x + cos² x = 1

1.1.2. Identidades relacionadas à simetria: sen ( -x) = - sen (x) cos (- x) = cos (x) tan (-x) = - tan (x)

1.1.3. Seno e cosseno da soma ou da diferença entre dois ângulos: sen (x + y) = senx · cosy + cosx · seny sen (x - y) = senx · cosy - cosx · seny cos (x + y) = cosx · cosy – senx · seny cos (x - y) = cosx · cosy + senx · seny

2. Razões trigonométricas

2.1. Seno

2.2. Cosseno

2.3. Tangente

3. Ângulos notáveis

3.1. 30°

3.2. 45°

3.3. 60°

4. Funções trigonométricas

4.1. Função seno

4.1.1. Seja x um número real, a função seno possui lei de formação igual a f(x) = sen(x) R → R. O gráfico da função seno é o que conhecemos como senoide ou gráfico senoidal. É importante perceber que ele é o que chamamos de cíclico, pois os valores do seno estão sempre entre 1 e -1 e se repetem de forma cíclica, o que faz o senoide ter esse formato de ondas.

4.2. Função cosseno

4.2.1. Ela tem um comportamento bastante parecido com o da função seno, gerando um gráfico também cíclico, com imagem entre 1 e -1. Definimos como função cosseno aquela que a lei de formação é f(x) = cos (x).

5. Circulo trigonométrico

5.1. O círculo é construído no plano cartesiano e possui raio 1. No eixo vertical, encontramos o valor referente ao seno do ângulo e, no eixo horizontal, o valor do cosseno. O eixo paralelo ao eixo vertical é o eixo da tangente. A partir do ciclo trigonométrico, conseguimos definir as funções trigonométricas, que utilizamos em problemas envolvendo essas razões.

6. Trigonometria no triângulo retângulo

6.1. A trigonometria foi desenvolvida inicialmente para triângulos retângulos. Analisando a proporção entre os lados de um triângulo desse tipo, é possível definir o que conhecemos como razões trigonométricas. São elas o seno, o cosseno e a tangente. Dado um triângulo retângulo, conhecemos como hipotenusa o seu maior lado, que está sempre oposto ao ângulo de 90º. Os outros lados são chamados de catetos. Para calcular o seno, o cosseno ou a tangente, é necessário utilizar um ângulo como referência, por isso os catetos são chamados de cateto oposto (o lado que está de frente para o ângulo) e cateto adjacente (o lado que forma o ângulo junto à hipotenusa).

7. Teoria Euclidiana

7.1. Lei do seno

7.1.1. A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante.

7.2. Lei do cosseno

7.2.1. A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados, corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

7.3. Lei da tangente

7.3.1. A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.

8. Teoria de Pitágoras

8.1. O Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e matemático grego, Pitágoras de Samos, (570 a.C. - 495 a.C.), é muito utilizado nos estudos trigonométricos. Ele prova que no triângulo retângulo, composto por um ângulo interno de 90° (ângulo reto), a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa: a2 = c2+ b2 Sendo, a: hipotenusa c e b: catetos