ESTUDO ANALÍTICO DO PONTO

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ESTUDO ANALÍTICO DO PONTO por Mind Map: ESTUDO ANALÍTICO DO PONTO

1. O estudo analítico do ponto tem como base o plano cartesiano que orienta a localização dos pontos no espaço.

1.1. Na matemática, temos o estudo da Geometria Analítica, que contempla a análise das propriedades das figuras geométricas. Dentro dessa área, um dos assuntos abordados é o estudo analítico do ponto.

1.2. Esse tipo de estudo está relacionado ao Plano Cartesiano, que ajuda a localizar os pontos no espaço. As características do ponto são as primeiras instruções passadas a nós, os alunos, no estudo da Geometria Analítica.

1.3. Todo ponto possui coordenadas de localização. Assim, é possível encontrar o ponto médio de um segmento até a distância entre dois pontos no mesmo espaço.

2. Ponto Médio de um Segmento de Reta

2.1. O segmento de reta é um subconjunto da reta, é a parte da reta. Ao contrário da reta, o segmento é finito, possuindo começo e fim, podendo ser medido. Mesmo sendo finito, ele possui infinitos pontos e o ponto que divide o segmento da reta em duas partes de mesmo tamanho é chamado de ponto médio.

2.2. Para determinar as coordenadas do ponto médio podemos usar as seguintes equações:

2.2.1. Xm = Xp + Xq/2

2.2.2. Ym = Yp + Yq/2

3. Características do Estudo Analítico do Pontos

3.1. A primeira característica do ponto é os pontos que estão alinhados quando são colineares, ou pertencem a uma mesma reta.

3.2. Em seguida, partindo do princípio de que temos dois eixos - Eixo Y (eixo das ordenadas), que representa a linha vertical, Eixo X (eixo das abscissas), que representa a linha horizontal - podemos encontrar a localização de um ponto P entre duas coordenadas X e Y.

3.2.1. Nesse cenário, podemos determinar em que lugar os eixos das ordenadas e abscissas se encontram. Essa situação é representada por (Xp, Yp)

3.3. Outro conceito importante é o de bissetrizes, que são retas que cortam exatamente o centro do plano cartesiano, formando ângulo de 45º com os eixos X e Y.

3.3.1. As coordenadas dos pontos da bissetriz que estão nos quadrantes pares são sempre opostos. Os pontos sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, têm valores iguais para X e Y.

3.4. Também é possível determinar a distância entre dois pontos. Para isso, é preciso saber as coordenadas de dois pontos do plano cartesiano (pontos A e B)

3.4.1. Essa distância é calculada com base no Teorema de Pitágoras: a² = b² + c².

3.5. Outra característica do ponto que podem ser determinadas na Geometria Analítica são: o ponto médio de um segmento, o baricentro de um triângulo e a condição de alinhamento entre os pontos.

4. Pontos que podem ser determinados ->

5. Baricentro de um Triângulo

5.1. Assim como na geometria plana, o estudo analítico do triângulo aborda todos os seus elementos. Podemos encontrar a equação da reta que representa sua altura, bissetriz, mediana e mediatriz. Também é possível determinar as coordenadas de seus pontos notáveis, como o baricentro. O baricentro é o ponto de encontro entre as medianas de um triângulo e também é considerado o centro da gravidade de um triângulo.

5.2. Para calcular o baricentro de um triângulo, podemos usar as seguintes equações:

5.2.1. Xg = Xa + Xb + Xc/3

5.2.2. Yg = Ya + Yb + Yc/3

6. Condição de Alinhamento de Três Pontos

6.1. Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta. Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus, envolvendo a matriz das coordenadas

6.1.1. O alinhamento de três pontos pode ser determinado aplicando o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3X3. Ao calcular o determinante da matriz construída utilizando as coordenadas dos pontos em questão e encontrando o valor igual a zero, podemos afirmar que existe colinearidade dos três pontos.