1. Ferramentas: (i) Teorema do anulamento (ou teorema de bolzono); (ii) corolário do teorema; (iii) tabelamento; (iv) gráfico.
1.1. (i) Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b]. Se f(a).f(b)<0, então existe pelo menos um ponto c, onde c pertence a [a,b] tal que f(c)=0
1.2. (ii) Se f'(x) preservar o sinal em [a,b], então existe um único c pertencente a [a,b] tal que f(c)=0.
1.3. (iii) e (iv) O tabelamento consiste em colocar valores de entradas em x e encontrar o valor de saída em f(x), e com esses dados fazer o gráfico.
2. Algoritmo de zero de funções: início ----> aproximação inicial de x ----> critério de parada -----> exibe o resultado ou atualiza a aproximação (volta para o critério de parada) ------> FIM
2.1. Sobre a atualização da aproximação, é a parte do algoritmo que transforma o dado de entrada em um número mais próximo da raiz exata, que são verificados pelo critério de parada posteriormente. Existe alguns métodos numéricos:
2.1.1. Método da bissecção: x(k) = (a+b)/2
2.1.1.1. a e b fazem parte do intervalo encontrado no tabelamento, que é aprovado pelo teorema e corolário.
2.1.2. Método da falsa posição: x(k) = (a.f(b)-b.f(a))/f(b)-f(a)
2.1.2.1. a e b fazem parte do intervalo encontrado no tabelamento, que é aprovado pelo teorema e corolário.
2.1.3. Método do ponto fixo: f(x) = 0 <=> x = φ(x) (x(k+1) = φ(xk)
2.1.3.1. φ(x) gera uma sequência de soluções aproximadas
2.1.3.2. Forma geral de φ(x): φ(x) = x + A(x), onde A(x) é diferente de 0. Então: φ(x) = x <=> f(x) = 0
2.1.3.3. Condições de convergências - MPF: (i) φ(x) e φ'(x) são contínuas em I; (ii) | φ'(x) | é menor ou igual a M, que por sua vez é menor que 1, onde x pertence ao intervalo; (iii) x0 pertence ao intervalo
2.1.4. Método de Newton-Raphson é uma melhoria do ponto fixo. A hipótese é que φ'(x) = 0.
2.1.4.1. O que muda? φ(x) x+A(x).f(x)---> φ'(x)=1+A'(x).f(x)+f'(x).A(x) como f(x) = 0, então φ'(x) = 1+A(x).f'(x)=0. Então, fazendo algumas manipulações, tem-se que: x(k+1)=xk - f(xk)/f'(xk)
2.1.4.2. Condições de convergência: (i) f(x), f'(x), f''(x) são contínuas em I; (ii) f'(x) é diferente de 0; (iii) x0 está suficientemente próximo da raiz.
2.1.5. Método da secante é uma melhoria do método Newton-Raphson: x(k+1) = (xk-f(xk).(x(k) - x(k-1)))/f(xk)-f(xk-1)
2.2. Sobre o critério de parada, ele serve para verificar se a variável vai está próxima a raiz da equação.
2.2.1. Critérios: (i) f(xk) < precisão; (ii) | xk - x(k-1) | < precisão; (iii) número limite de iterações.