1. Остатки и сравнения
1.1. Арифметика остатков
1.1.1. Является ли 2019 суммой двух квадратов?
1.1.2. Бесконечность количества простых вида 4k+3
1.1.3. Проверка вычислений
1.1.3.1. 999 999 : 13 = 76 963?
1.1.4. Признаки делимости (в десятичной записи числа)
1.1.4.1. Может ли сумма цифр полного квадрата быть равной 2019?
1.1.4.2. "Теорема Лаврентина": существует признак делимости на любое число
1.2. Китайская теорема об остатках
1.2.1. Задача о сержанте Иванове
1.2.1.1. Генерал построил солдат в колонну по 2. Сержант Иванов остался без пары. Генерал не растерялся и построил солдат в колонну по три, но скржант Иванов снова остался один. Генерал построил солдат в колонну по 5, но сержант Иванов опять остался один! Тут генерал посулил сержанту Иванову три наряда вне очереди и ростроил солдат в колонну по 7. На этот раз, солдаты стояли ровными колоннами, сержант Иваоов был последним в своей колонне. Сколько солдат могло быть у генерала?
2. Деление в столбик. Обыкновенные и десятичные дроби
2.1. Почему оно вообще работает?
2.1.1. Доказательство корректности алгоритма
2.2. А что, если не разделится?
2.2.1. Продолжаем делить, поставив запятую
2.3. Закончится ли процесс?
2.3.1. В каком случае при делении получится конечная десятичная дробь?
2.4. Всегда ли будет период?
2.5. Будет ли предпериод?
2.6. Какой может быть длина периода?
2.6.1. Малая теорема Ферма
2.7. Как свернуть периодическую дробь обратно?
2.8. Непериодические дроби и иррациональные числа
2.8.1. Существование непериодической бесконечной десятичной дроби.
3. Структура целых чисел по умножению
3.1. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел
3.1.1. Сколько простых чисел в интервале: а) от 100 до 110? б) от 200 до 210?
3.2. Мешок простых делителей числа
3.3. Основная теорема арифметики
3.3.1. Контрпример: четные числа
3.4. Приемы быстрого умножения
3.4.1. Чтобы умножить на 5, умножь на 10 и раздели пополам
3.4.2. Чтобы умножить на 8, трижды удвой
3.4.3. Чтобы умножить на 37, умножь на 111 и раздели на 3
3.5. НОД как min НОК как max
3.6. Сокращение дробей
3.7. Наименьший общий знаменатель
3.8. Теорема Эйлера о количестве делителей числа
4. Как инвариант
4.1. Задачи о четности
4.1.1. Можно ли разменять 25 рублей десятью купюрами достоинством 1, 3 и 5 рублей?
4.1.1.1. B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на два стада по 50 коров в каждом, так что суммарный вес коров первого стада равен суммарному весу коров другого стада. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.
4.1.2. Хулиганы Вася и Петя порвали стенгазету. Вася всегда берет кусок стенгазеты и рвет его на 5 кусков, а Петя всегда берет кусок и рвет его на 7 кусков. Когда решили склеить газету, насчитали ровно 2020 кусков. Пионервожатая сказала, что это не все куски. Как она догадалась?
4.1.2.1. Учитель географии поставил Васе двойку. Чтобы отомстить учителю, Вася темной ночью пробрался в кабинет географии и изорвал карту мира на части. Каждый раз он брал один из кусков карты, и рвал его на 10 или на 13 кусков. Мог ли Вася по окончании своего акта вандализма получить из карты ровно 2018 кусков?
4.2. Другие задачи
4.2.1. Невозможность разрезания фигур
4.2.2. На острове Серобуромалин живут хамелеоны трех цветов: серые, бурые и малиновые. Если встречаются два хамелеона разных цветов, они меняют свой цвет на третий. Могут ли все хамелеоны стать одноцветными, если изеачально их было 13, 15, 17 соответственно?
4.3. Игры в камешки
4.3.1. Полный разбор игры с одной кучкой (разные правила)
4.3.2. игра Ним и другие красоты
4.4. Невозможность разрезания фигур
5. Звезды и циклы
5.1. Звезды и многоугольники
5.1.1. Когда звезда будет полной, а когда замкнется раньше?
5.2. Совпадение цикла при повороте. Задача Лизы Паремузовой.
5.3. Задача о колесе обозрения и Малая теорема Ферма
5.3.1. Сколько способов раскрасить колесо обозрения с p кабинками в a цветов?
5.4. Общий случай: формула обращения Мёбиуса
6. Алгоритм Евклида
6.1. Первый шаг: сокращаем дроби типа 197/201
6.2. Отрезаем квадраты от прямоугольника
6.2.1. Числа Фибоначчи
6.3. Разложение в (конечную) цепную дробь
6.3.1. Задача об окружностях
6.3.1.1. Даны две окружности радиуса 1, касающиеся друг друга и данной прямой в точках 0 и 1. Внутрь полученного криволинейного треугольника вписывается новая окружность, в каждый из возникших криволинейных треугольников - по окружности, и так далее. Опишите множество точек касания с исходной прямой всех полученных окружностей.
6.3.2. Периодические цепные дроби
6.3.3. Наилучшее рациональное приближение
6.4. Нахождение решения уравнения Ах + Ву = НОД (А, В)
6.5. Доказательство основной теоремы арифметики
7. НОД
7.1. Переливания
7.1.1. Можно ли отмерить 3 литра, пользуясь 25-литровой и 12-литровой банками?
7.2. Аферисты и размены
7.2.1. У одного афериста только 86-рублевые купюры, а у другого — только 65-рублевые. Сможет ли первый заплатить второму 1 рубль? Если да, то сколько купюр кто кому должен дать? Если нет, докажите, что это невозможно.
7.3. Задача о слонопотаме
7.3.1. Слонопотам бегает кругами по стадиону длиной 394 метра. Шаг Слонопотама равен 17 метрам. Винни-Пух вырыл яму в 3 метрах от старта. Угодит ли Слонопотам в яму?
7.4. Найти НОД (11 111 111 и 11 ... 11) (восемь единиц и сто единиц)
7.5. Наименьшая дробь вида у/А + х/В
8. Диофантовы уравнения
8.1. Диофантово уравнение Ах + Ву = НОД (А, В)
8.2. Квадратичные уравнения
8.2.1. Разрешимо ли уравнение 15х^2 - 7y^2 = 9?
8.2.2. Пифагоровы тройки (общий вид)