1. Происхождение слова "бабай?
1.1. Тюркское происхождение
1.2. babá 'отец, дед'
2. Откуда взялось выражение?
2.1. ёханый (ёкарный) бабай – это не что иное, как тюркское «ё ханэ, бабай»:
2.2. «тебе конец, дедушка».
3. Что означает это выражение?
3.1. В.В. Химик, автор «Большой словарь русской разговорной речи»
3.1.1. ёкарный (ёкхарный, ёханый) бабай – 'выражение любой эмоции,: удивления, досады, раздражения, радости и т. п.', используемое в значении междометия в шутливом разговорно-сниженном стиле, – представляет собой эвфемизм, «провоцирующий первый звук бранной формулы ё… т… м… с заменой всей остальной части фразы неясным сочетанием» (как, например, и восклицания «ёкаламэнэ», «ёксель-моксель», «ёлки-палки» и т. п.).
3.2. В интернете
3.2.1. ёкарный бабай – это, на самом-то деле, искаженное «якорный бабай». А выражение это якобы обозначало профессию: «Раньше так звались люди, которые занимались установкой и регулировкой якорных бакенов на Волге. Когда изменялся уровень воды, то у бакена, стоящего на якоре нужно было регулировать длину троса.
4. Значение в разных соц.группах
4.1. В словаре жаргонов-
4.1.1. "Старик", "татарин", "старый татарин", "ростовщик'"
4.2. В молодёжном жаргоне-
4.2.1. "уроженец Средней Азии", "денежная единица республик Средней Азии"
4.3. в жаргоне солдат, воевавших в Афганистане
4.3.1. "душман"