Сравнение выражений, содержащих степени

1. Примеры сравнения выражений, содержащих степени с одинаковым основанием.

1.1. Сравним числа 3^√71 и 3^√69. 3>0 Сравним показатели √71 и √69. √71>√69, следовательно, по теореме 2, 3^√71>3^√69.

1.2. Сравним числа 5^2√3 и 5^3√2. 5>0 Сравним показатели 2√3 и 3√2. Так как 2√3=√12, 3√2=√18 и 12<18, то 2√3<3√2. Поэтому, по теореме 2, 5^2√3<5^3√2.

2. Пример сравнения выражений, содержащих степени с одинаковым показателем.

2.1. Сравним числа ∛2 и ∛3. 2^1/3 и 2^1/3. По следствию 3 из теоремы 2 т. к. 2<3 и 1/3>0, то 2^1/3<2^1/3, ∛2<∛3.

3. Теорема1 Для любого X∈R такого, что X>0 и для любого а∈R такого, что а>1 следует, что а^x>1.

4. Теорема2 Если а>1 и X1>X2, то а^X1>a^X2

4.1. Следствие1 Если 0<a<1 и X1>X2, то a^X1<a^X2

4.2. Следствие 2 Если а>0 и X1=X2, то а^X1=a^X2

4.3. Следствие 3 Если X1>X2>0 и число p>0, то X1^p>X2^p. Если X1>X2>0 и p<0, то X1^p<X2^p.