1.1. Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.
2. Применение
2.1. С помощью инверсии можно решить известную задачу Аполлония, математически описать принцип действия механизма Липкина — Посселье.
2.2. С помощью инверсии можно показать, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)
3. Свойства
3.1. Инверсия относительно окружности центром O обладает следующими основными свойствами:
3.2. Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
3.3. Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
3.4. Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
3.5. Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
3.6. Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).
3.7. Окружность или прямая, перпендикулярная к переходит в себя.
4. Построение
4.1. Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом:
4.2. Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'
4.3. Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'
4.4. Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой