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Probleme und Strategien by Mind Map: Probleme und Strategien
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Probleme und Strategien

Wie löst man mathematische Probleme? Mit cleveren Aufzeichnungen zur Lösung: Mind Maps in der Mathematik Lösungswerkzeuge für mathematische Probleme Mathematische Probleme lösen: Ein Gesamtkonzept (Beginnen Sie mit dem Lesen hier.)    Für die Schule: Mind Maps und Lösungswerkzeuge [mehr...]      Neu: Poster zum Herunterladen Viele Ideen auf einen Blick - eine nützliche Arbeitshilfe zum Lösen von Matheproblemen [mehr...]    Neu: Die komplette Webseite als PDF-Datei zum Herunterladen [mehr...]    Außerdem: Problems.Strategies.Solutions. Das englischsprachige Weblog zum Problemlösen.

Wozu diese Seiten?

Warum es sich lohnt, probleme-und- strategien.de zu lesen Weil hier Tipps stehen, die in der Ausbildung oft fehlen Wer im Studium, in der Oberstufe, in mathematischen Wettbewerben wie dem Bundeswettbewerb Mathematik (BWM) oder anderswo mathematische Probleme lösen soll, der bekommt nur selten Hinweise, wie das geht. Die Folge: Man hat weniger Spaß am Problemlösen, braucht mehr Zeit dafür und bleibt zurück hinter dem, was man leisten könnte. Weil hier bewährte Lösungstechniken vorgestellt werden Es gibt eine Reihe hervorragender Bücher zum Thema mathematische Heuristik - sie zeigen, mit welchen Techniken mathematische Probleme gelöst werden können - besonders gute Beispiele sind die klassischen Werke von George Polya und die Bücher von Paul Zeitz und Arthur Engel. (Die Titel stehen im Literaturverzeichnis). Viele dieser Lösungswerkzeuge werden auf diesen Seiten vorgestellt. Weil hier moderne Arbeitstechniken eingesetzt werden Geschickte schriftliche Aufzeichnungen können beim Lösen mathematischer Probleme eine große Hilfe sein. Auf diesen Seiten wird eine flexible und leistungsfähige Aufzeichnungsform beschrieben, die sich in vielen Bereichen bestens bewährt hat: das Mind Mapping. Neben den einfachen Grundregeln des Mind Mapping wird vorgestellt, wie Mind Maps beim Problemlösen im Allgemeinen und beim mathematischen Problemlösen im Besonderen helfen können. Weil hier ein alltagstaugliches Gesamtverfahren beschrieben wird Lösungswerkzeuge und Mind Maps - es liegt nahe, diese beiden bewährten Ansätze zu verbinden. Hierfür gibt es eine Reihe von Möglichkeiten - zum Beispiel die Idee, zwei Arten von Mind Maps zu benutzen: In den sogenannten "Werkzeug- Maps" sammeln wir Lösungswerkzeuge und ordnen sie so an, dass wir für typische Problemsituationen leicht ein Werkzeug finden, das uns weiterhilft. In der sogenannten "Problem-Map" machen wir während der eigentlichen Arbeit Aufzeichnungen zu dem gegebenen Problem. Bei der Suche nach nützlichen Vorgehensweisen und Lösungsideen finden wir Anregungen in den Werkzeug-Maps. Weil der Nutzen enorm ist Vieles, was beim Lösen mathematischer Probleme hilft, lässt sich auf andere Probleme übertragen. Die Informationen auf diesen Seiten regen (hoffentlich) dazu an, die Fähigkeit zum Problemlösen ganz allgemein zu verbessern -   und damit eine der wichtigsten und nützlichsten Fähigkeiten überhaupt.    Weiter geht es hier.

Problemlösen: Grundideen

Wir sitzen vor einem Matheproblem und einem leeren Blatt Papier - und haben keine Ahnung, was wir tun sollen. Hier kommt eine praktisches, alltagstaugliches Lösungsverfahren.    Die Grundidee Probleme löst man am besten, indem man passende "Lösungswerkzeuge" benutzt. Hier kommen einige wenige Beispiele für solche Werkzeuge:    Spezialfälle betrachten,    eine Skizze anfertigen,    eine vollständige Induktion durchführen,    mit dem Ziel beginnen und rückwärts suchen,    Extremfälle betrachten,    nach Symmetrien suchen,    den Satz des Pythagoras benutzen oder    eine Definition nachschlagen. All diese Werkzeuge können uns beim Lösen eines Problems weiterbringen. Die Menge solcher Werkzeuge ist natürlich riesig, und eine bloße Sammlung hilft nur wenig - wir brauchen eine Antwort auf die   Zentrale Frage beim Problemlösen In welcher Problemsituation hilft welches Werkzeug? Diese Frage zerlegen wir in zwei Teilfragen: Teilfrage 1: Welche Problemsituationen sind wichtig? Probleme sind vielfältig, und wir können nicht für jede denkbare Bearbeitungssituation ein eigenes, passendes Werkzeug bereit halten. Deshalb werden wir Problemsituationen geschickt klassifizieren. Beispiele sind die folgenden Klassifikationen: Nach Problemphasen    Orientierung zu Beginn der Bearbeitung,     Planung des Lösungswegs,     Durchführung der Lösung,     Rückschau), Nach den mathematischen Objekten, mit denen das Problem zu tun hat    Reihen, Matrizen, differenzierbare Funktionen oder Nach typischen Schwierigkeiten, die beim Problemlösen auftauchen    keinen Anfang wissen,    feststecken, Teilfrage 2: Welche Werkzeuge helfen in den Problemsituationen aus Teilfrage 1? Eine solche Zuordnung "Problemsituationen - > Werkzeuge" ist ein grundlegender Teil unserer Lösungsmethode. Hier kommen ein paar einfache Beispiele für solche Zuordnungen: - Es empfiehlt es sich oft, zu Beginn der Bearbeitung eine Zeichnung anzufertigen. - Wenn die Ausgangsinformationen nicht viel hergeben, kann man versuchen, vom Ziel her rückwärts zu arbeiten. - Beim Umgang mit Folgen von Zahlen sind induktive Schlüsse von einer Zahl auf ihre Nachbarn oft nützlich.       Problemsituationen und Werkzeuge: Ordnung schaffen mit Mind Maps Diese Zuordnung "Problemsituationen -      >Werkzeuge" soll nicht nur im Kopf stattfinden, sondern auch schriftlich erfasst werden - dann nämlich lassen sich Werkzeuge viel zuverlässiger und systematischer benutzen. Wir benötigen also eine Methode, um diese Zuordnung schriftlich darzustellen. Dafür besonders geeignet ist das Mind Mapping.    Mind Mapping: Wie funktioniert das? Beim Mind Mapping wird das Thema in die Mitte des Schreibblatts geschrieben, die Ideen werden hierarchisch um das Thema herum angeordnet und zeichnerisch dargestellt, sofern das sinnvoll ist. Hier kommt ein Beispiel. (Es war einfacher, eine Mind Map mit dem Computer zu erzeugen, als eine handschriftliche einzuscannen.) Mind Maps: Flexibel und leistungsfähig Wir können nämlich Mind Maps auf zwei Arten benutzen: 1. Als "Werkzeug-Map" Hier ordnen wir den Problemsituationen Werkzeuge so zu, dass sich ein passendes Werkzeug leicht finden lässt. 2. Als "Problem-Map" In dieser Map bearbeiten wir das eigentliche Problem - wir sammeln und entwickeln Ansätze, zerlegen das Problem in Teilprobleme, notieren spontane Ideen usw., und benutzen die Werkzeug-Maps, wenn wir Ideen zu neuen Lösungswerkzeuge brauchen. Dieser kombinierte Einsatz von Werkzeug- und Problem- Maps bekommt der Kürze halber den Namen "Werkzeug- Mapping". So funktioniert Werkzeug-Mapping:     Das klingt umständlich oder unnötig kompliziert? Mag sein. Aber es gilt vor allem: Das Verfahren ist alltagstauglich, Werkzeug- Maps helfen beim systematischen Einsatz von Lösungswerkzeugen und Problem- Maps bringen Struktur in die Suche nach einer Lösung. (Mehr zur Kritik am Werkzeug-Mapping und zu den Entgegnungen darauf gibt es hier.) Nach diesem Überblick kommen wir jetzt zu den Einzelheiten. Wir beginnen mit der Frage: Wie funktioniert Mind Mapping? [mehr...] Wer das Mind Mapping schon kennt, kann weitermachen mit der Frage: Wie helfen Mind Maps beim Lösen mathematischer Probleme?[mehr...]

Mind Mapping: Ein Schnellkurs

Mind Maps: Wesentliche Eigenschaften In einer Mind Map werden die Ideen grafisch in einer Baumstruktur angeordnet. Dabei steht das Thema in der Mitte des Blattes. Die Ideen werden als Stichworte aufgeschrieben oder, besser noch, in Skizzen und Zeichnungen dargestellt. Zusätzlich können Farben, Pfeile und Symbole benutzt werden. Hier kommt ein Beispiel (wiederum computererzeugt und nicht handschriftlich). Wer mindmappen will, der kann es probieren mit dem folgenden einfachen Rezept für Mind Maps: Material: Man braucht ein unliniertes Blatt Papier, möglichst im Format DIN A4 oder größer, und Schreibstifte in verschiedenen Farben. Auch Textmarker sind nützlich.    Los geht"s: Man benutzt das Papier im Querformat, schreibt das Thema der Mind Map in die Mitte des Blatts und zeichnet einen Rahmen darum. Das Thema kann in Worten oder durch eine kleine Zeichnung dargestellt werden.    Ideen gliedern: Äste und Zweige Man schreibt die ersten Lösungsansätze um dieses Thema herum auf und verbindet sie durch Linien mit dem Thema. Diese Ideen-Äste kann man durch Ideen- Zweige und Ideen- Unterzweige verfeinern. Dadurch sortieren sich die Gedanken praktisch von selbst. Weitere Einfälle kann man leicht an den passenden Stellen einfügen.    Stichwörter benutzen: Man sollte Stichwörter oder möglichst knappe Formulierungen statt ganzer Sätze verwenden. Dadurch vermeidet man überflüssige Wörter und spart Platz und Zeit. Ein weiteres Argument für Stichwörter: Assoziationen lassen sich leichter zu einzelnen Wörtern bilden als zu einem ganzen Satz. (Die Mind Maps auf diesen Seiten sind entgegen diesem Ratschlag ziemlich wortreich - andernfalls wären sie für Andere kaum verständlich. Bei den eigenen Arbeitsaufzeichnungen spielt die Verständlichkeit für andere eine viel geringere Rolle.)    Symbole benutzen: Man sollte möglichst oft Symbole und kleine Zeichnungen verwenden. Dadurch werden die Fähigkeiten des Gehirns zum Denken in Bildern ausgenutzt, die bei herkömmlichen Aufzeichnungen kaum eingesetzt werden können.    Farben benutzen: Man sollte hier die eigenen Vorlieben herausfinden: Wird die Arbeit besser oder leichter, wenn man mehrere Farben benutzt? Oder ist das Hantieren mit mehreren Stiften bloßlästig? Die klassische Lehre empfiehlt aus guten Gründen, mehrere Farben zu verwenden: Sie gliedern die Mind Map und bringen zusätzliche Informationen in die Mind Map. (Ich selbst mache fast ausschließlich einfarbige Mind Maps.)    Weitere Ideen: Zahlen, Pfeile, etc. Die Ideen sind in der Mind Map hierarchisch angeordnet. Darüber hinaus kann man die Gedanken gliedern, indem man sie nummeriert, Wichtiges durch Farben und Zeichnungen hervorhebt und Ideen durch Pfeile verbindet.       Praktische Tipps: Wie man gut lesbare und übersichtliche Mind Maps produziert Man sollte herausfinden, was leichter fällt: Zunächst ein Wort oder eine Zeichnung an die passende Stelle schreiben und sie danach durch eine Linie verbinden oder umgekehrt.    Man sollte Wörter wie üblich waagerecht schreiben, aber nicht verdrehen oder senkrecht schreiben.     Wer eine schlecht lesbare Handschrift hat, kann Druck- anstelle von Schreibschrift benutzen. Aufgepasst: TEXT AUS LAUTER GROSSBUCHSTABEN IST MEIST SCHLECHTER LESBAR als Text in gewöhnlicher Schreibweise.     Wer hat"s erfunden? Das Konzept der Mind Map wurde seit den 1970er Jahren entwickelt von dem Engländer Tony Buzan, der damals Herausgeber des Journals der Hochintelligenzler- Vereinigung "Mensa" war. Viele der Leitideen des Mind Mapping sind schon sehr alt;  Buzans Verdienst besteht darin, diese Ideen zu einem leicht anwendbaren Gesamtkonzept verbunden und verbreitet zu haben. Funktioniert das? Die wichtige Frage lautet natürlich: Hilft mir das Mind Mapping? - eine Frage, die sich nur nach einigen eigenen Versuchen beantworten lässt. Wer diese Versuche frühzeitig aufgeben möchte, der könnte sich fragen, welche Motive ihn dazu drängen - und warum andererseits heute das Mind Mapping an fast allen Hochschulen eingesetzt wird. (Nach Informationen im Internet darunter die Universitäten Oxford, Cambridge, Stanford, Yale und Harvard.) Wir haben gerade das Mind Mapping in seiner allgemeinen Form beschrieben. Als nächstes untersuchen wir, wie Mind Maps beim Lösen mathematischer Probleme helfen können. [mehr...]

Ein Lösungsverfahren

Wir wollen bei der Arbeit an einem mathematischen Problem zwei Mind Maps gleichzeitig benutzen: eine Problem-Map: Hier planen wir unser Vorgehen, sammeln Ideen, verfolgen Ansätze, untersuchen systematisch Schwierigkeiten etc., und eine (oder mehrere) Werkzeug- Maps: Hier haben wir Lösungswerkzeuge gesammelt und so aufbereitet, dass wir möglichst leicht ein passendes finden. Diese Werkzeug-Maps bilden unseren "Werkzeug- Koffer", sie speichern unsere Erfahrungen aus früheren Problemen und können immer weiter verbessert werden. Diese Maps werden wir jetzt genauer untersuchen.    Wie können Problem-Maps beim Problemlösen helfen? In Problem-Maps können wir Ziele sammeln, ein vielsprechendes Ziel auswählen und weiter verfolgen, Lösungsansätze sammeln, den meistversprechenden auswählen und weiter verfolgen, ein Problem in Teilprobleme zerlegen, einen Plan für das Vorgehen entwerfen, das Vorgehen kritisch untersuchen und anpassen, Schwierigkeiten ausfindig machen und nach Lösungen suchen usw. Keine Sorge! Niemand will das Problemlösen in ein Korsett zwängen: Problem-Maps sollen beim Nachdenken helfen, und dabei spielt Intuition eine große Rolle - zu viele Regeln sind hier bloß schädlich. Wenn es der Lösung eines Problems dient, darf und soll natürlich jeder Ratschlag auf diesen Seiten verletzt werden. Aber gerade dann, wenn man in Schwierigkeiten steckt, ist es oft sehr nützlich, systematischer zu arbeiten. Beim Lösen mathematischer Probleme in Mind Maps gibt es eine praktische Schwierigkeit: Immer wieder braucht man Tabellen, Termumformungen, Nebenrechnungen - all das passt nur schlecht ins klassische Layout einer Mind Map. Deshalb mein Vorschlag: Ein Misch-Layout für die Problem-Map Bei dieser Aufteilung sammelt man Ideen in der Mind Map, Nebenrechnungen und Termumformungen werden in den Kästchen unter der Map ausgeführt, einfache Ziffern verweisen von der Map auf die Kästchen. Die Mittellinie zwischen den Kästchen hilft beim Platzsparen und sorgt für mehr Übersichtlichkeit. (Die Idee zur Aufteilung in Kästchen stammt aus einem Aufsatz von Richard Rusczyk auf der Seite "www.artofproblemsolving.com".) Beispiele solcher Problem-Maps betrachten wir später. Wie können Werkzeug-Maps beim Problemlösen helfen? Wir brauchen einen Weg, um in schwierigen Problemsituationen diejenigen Werkzeuge ausfindig zu machen, die uns weiterhelfen. Dazu gehen wir folgendermaßen vor: 1. Wir klassifizieren Problemsituationen. 2. Wir ordnen diesen Problemsituationen nützliche Werkzeuge zu. Wir wollen zunächst untersuchen, wie das grundsätzlich aussehen könnte. Im nächsten Kapitel gibt es dann eine Sammlung von Werkzeug-Maps für den praktischen Einsatz. Wie lassen sich Problemsituationen klassifizieren? Dies gelingt am einfachsten mit Hilfe von Dingen, die sich leicht feststellen lassen: In welcher Phase einer Problembearbeitung stecke ich gerade? Eine sinnvolle Aufteilung in Phasen sieht zum Beispiel so aus: Orientieren, Planen, Durchführen, Rückblicken. Diese Phasen folgen in der Praxis nicht streng aufeinander, aber es ist meist leicht festzustellen, in welcher Phase man sich gerade befindet. Jeder dieser Phasen kann man nützliche Werkzeuge zuordnen.    In welchen Schwierigkeiten stecke ich gerade? Die Schwierigkeiten, die beim Problemlösen auftauchen, sind oft sehr individuell. Beispiele für derartige Schwierigkeiten könnten sein: Ziellosigkeit, Mangel an planvollem Vorgehen, Ungenauigkeit, Flüchtigkeit, Mangel an Einfällen. Diesen Unzulänglichkeiten lassen sich wiederum Werkzeuge zuordnen.    Mit welchem Teilgebiet der Mathematik und welchen mathematischen Objekten habe ich zu tun? Dieser Ansatz ist recht naheliegend: Man sammelt in einer Map Werkzeuge zum Umgang mit Polynomen, konvergierenden Reihen, stochastischen Prozessen usw.    Es ist klar, dass dieser Ansatz im Äußersten auf die Kartographierung des gesamten mathematischen Wissens führen würde - wie sich entsprechende Werkzeug-Maps erstellen oder nutzen ließen, ist völlig unklar. In diesem Ansatz berühren sich Techniken des Problemlösens und die Frage nach der Aufbereitung mathematischen Wissen im Allgemeinen. Für den praktischen Gebrauch sind allerdings schon kleinere Werkzeug- Maps mit den wichtigsten Werkzeugen sehr nützlich.    Worin besteht das Problem? Diese Frage soll folgendes bedeuten: Beim Problemlösen kann man eine ganze Reihe von abstrakteren Objekten unterscheiden, zum Beispiel Ziele, Lösungsansätze, Lösungspläne, Emotionen, die sich auf das Problemlösen beziehen, Repräsentationen: In welcher Form betrachten wir eigentlich das Problem -     mittels Grafiken, durch Formeln, verbal...? Beim Problemlösen können wir dann untersuchen, welche Schwierigkeiten sich an diese Objekte knüpfen: Fehlen uns Ziele? Sind die bisherigen Lösungsansätze unzureichend? Brauchen wir nicht bloß einen Lösungsansatz, sondern einen umfassenderen Plan? Dieser Ansatz ist eng verwandt mit der Gliederung nach Schwierigkeiten, die weiter oben beschrieben wurde.    Eine Übersicht über die Werkzeug-Maps findet sich hier. Wie arbeitet man mit Werkzeug-Maps? Wir unterscheiden drei Vorgänge: Werkzeug-Maps erstellen Werkzeug-Maps benutzen Werkzeug-Maps anpassen   Zu diesen Punkten ein paar Hinweise: Werkzeug-Maps erstellen: Beim Erstellen eigener Werkzeug- Maps lässt sich sehr viel lernen über den Vorgang des Problemlösens -  wer stattdessen nur vorgefertigte Werkzeug-Maps übernimmt, der bringt sich um diesen großen Vorteil des Werkzeug-Mapping. Vorgefertigte Werkzeug-Maps wie auf dieser Seite können vor allem Ideen liefern, und zwar Ideen zu möglichen Gliederungen und damit zu Möglichkeiten, Problemsituationen wahrzunehmen und einzuschätzen, und Ideen zu möglichen Werkzeugen: So sind zum Beispiel die Betrachtung von Extremfällen oder die Suche nach Invarianten und Symmetrien typische mathematische Werkzeuge, die leichter zu übernehmen als nachzuerfinden sind.    Werkzeug-Maps benutzen: Während man ein Problem bearbeitet, sollte man sich von den folgenden Extremen fernhalten: Einerseits: Werkzeuge zu selten einsetzen - zum Beispiel ziellos und unscharf zu denken, obwohl schon einfache Werkzeuge aus einer Werkzeug-Map hier große Verbesserungen bewirken können. Andererseits: Werkzeuge zu sklavisch einsetzen - zum Beispiel sich zwanghaft an Werkzeug-Maps zu klammern und dadurch den Gedankenfluss zu hemmen.    Werkzeug-Maps anpassen: Wenn man Werkzeug-Maps anpassen und verbessern will, dann kann man dafür wiederum Werkzeuge benutzen. (Das klingt arg verkünstelt? Das scheint zunächst vielleicht so, aber es besteht in der Literatur Einigkeit darüber, dass der Rückblick auf die Bearbeitung eines Problems die vielleicht wichtigste und lehrreichste Phase ist.) Ein Beispiel einer solchen Werkzeug- Map für den Rückblick steht hier.    Wir kommen jetzt zu den Werkzeug- Maps. [mehr ...]

Strategien, Techniken und Tricks

In den folgenden Maps werden sehr viele Werkzeuge vorgestellt, also Techniken, Tipps und Tricks für das Lösen von Matheproblemen. Dazu ein paar Vorbemerkungen: Zunächst eine Entschuldigung Viele Werkzeuge in den Maps werden auf diesen Seiten nicht ausführlich beschrieben - andernfalls wäre diese Webseite noch immer nicht fertig und viel umfangreicher. Der Leser findet im Literaturverzeichnis sehr viele Hinweise auf Details des mathematischen Problemlösens, insbesondere in den Büchern von George Polya, Arthur Engel und Paul Zeitz. Werkzeug-Maps: Fertige übernehmen oder selber bauen? Natürlich ist selber bauen viel besser, denn: Erstens lernt man dabei sehr viel über das Problemlösen, zweitens findet man sich in den selbstgebauten Maps besser zurecht und drittens passen die Werkzeuge, ihre Anordnung und die Formulierungen in selbstgemachten Maps besser zur eigenen Person. Die Werkzeug-Maps auf diesen Seiten sind deshalb vor allem als Ideenlieferanten gedacht. Herunterladen Die Werkzeug-Maps im PDF-Format zum Herunterladen gibt es hier. Wir beginnen mit dem folgenden Satz von Allzweck-Werkzeugen: Die Basis-Werkzeuge Probleme beschreiben und Ursachen untersuchen Ziele definieren Lösungen entwickeln Rückblick Es folgen weitere Werkzeug-Maps. Hier kommt eine Bearbeitung des Klassikers: Die Polya-Map Diese Werkzeug-Map ist angelehnt an den Fragenkatalog in George Polyas Klassiker "Schule des Denkens".    Es folgt eine Werkzeug-Map zu mathematischen Inhalten. Natürlich ist das nur ein winziges Beispiel. Werkzeuge zur Zahlentheorie    Auf diesen Seiten geht es um die Frage, wie man die Lösung eines Problems findet. Eine andere Frage ist, wie man eine Lösung darstellen kann. Hilfestellungen gibt es in der folgenden Map. Lösungen aufschreiben Natürlich sind viele weitere Werkzeug- Maps denkbar, zum Beispiel zum Erfinden von Problemen oder "Meta- Maps", die beim Aufbau von Werkzeug-Maps helfen. Beispiele für die Anwendung des Werkzeug-Mapping gibt es hier.

Basis-Werkzeuge

Probleme und Ursachen

Ziele definieren

Lösungen entwickeln

Rückblick

Die Polya-Map

Werkzeuge Zahlentheorie

Lösungen aufschreiben

Beispiele

Bislang gibt es Beispiele zu den folgenden Themen: Ein Beispiel aus der Zahlentheorie Wer jetzt weiterlesen möchte, kann sich eine Sammlung vermischter Ideen zum Problemlösen anschauen. [mehr ...] Insbesondere gibt es dort Überlegungen zu folgenden Themen: Einsatz des Werkzeug-Mappings in der Schule [mehr...] Vor- und Nachteile des Werkzeug- Mapping [mehr ...] Kritik am Werkzeug-Mapping - und Entgegnungen darauf [mehr ...]

Beispiel: Zahlentheorie

Problemlösen: Vermischtes

Hier kommt eine Sammlung von Bemerkungen zu den folgenden Themen:    Warum schriftliche Aufzeichnungen nützlich sind [mehr...]    Vor- und Nachteile des Werkzeug- Mapping [mehr...]    Kritik am Werkzeug-Mapping - und Entgegnungen darauf [mehr...]    Mathematische Probleme und Mind Maps in der Schule [mehr...]    Navigationsschwierigkeiten beim Problemlösen - und wie man sie beheben kann [mehr...]    Stichwortsammlung Hier gibt es vermischte Bemerkungen rund um das Thema Problemlösen. Neue Ideen finden sich zuerst hier. [mehr...]

Nutzen von Aufzeichnungen

Werkzeug-Mapping: Diskussion

Kritik am Werkzeug-Mapping

Einsatz in der Schule

Navigieren beim Problemlösen

Stichwortsammlung

Material zum Herunterladen

Die kompletten Werkzeug-Maps als PDF- Datei. [Herunterladen...]    Poster: Das Poster im Format A3 als PDF- Datei. [Herunterladen...] Das Poster ist zunächst ein Experiment. Die Grundidee: Sie können das Poster ausdrucken und direkt als Arbeitshilfe benutzen - es liefert viele Ideen auf einen Blick. Bitte teilen Sie mir Kommentare und Verbesserungsvorschläge mit.     probleme-und-strategien zum Ausdrucken: Die (fast) komplette Webseite als PDF-  Dokument - einige Grafiken sind wegen ihrer Größe nicht ganz vollständig. [Herunterladen...]

Literatur

Diese Liste ist eine Zusammenstellung der Quellen, die ich besonders nützlich gefunden habe. Bücher Beutelspacher, Albrecht (2002) “Das ist o.B.d.A. trivial” Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken 6. Auflage, Vieweg, Braunschweig (Nützliche Hinweise, wie man aus mathematischen Ideen einen verständlichen und gut zu lesenden Text macht.) Bransford, John D.; Stein, Barry S. (1993) The IDEAL Problem Solver Freeman, New York (Die Autoren schlagen eine allgemeine Heuristik zum Lösen von Problemen vor und diskutieren Methoden zur Aneignung neuen Wissens und zum Lehren des Problemlösens.) Bryson, John; Ackermann, Fran; Eden, Colin; Finn, Charles (2004) Visible Thinking. Unlocking causal mapping for practical business results. Wiley, Chichester (Auseinandersetzung mit einer Sonderform des Concept Mapping.) Buzan, Tony; Buzan, Barry (1999) Das Mind-Map-Buch 4. Auflage, Mvg, Landsberg (Der Klassiker zum Thema. Erwartungsgemäß unkritisch gegenüber der Methode.) Buzan, Tony (1999) Business Mind Mapping Ueberreuter, Frankfurt (Mind Maps im Wirtschaftsleben.) Courant, Richard; Robbins, Herbert (2001) Was ist Mathematik? Springer, Berlin (Ein klassischer Überblick über viele zentrale Themen der Mathematik.) Csikszentmihalyi, Mihaly (2001) Flow – Das Geheimnis des Glücks 9. Auflage, Klett-Cotta, Stuttgart. (Einige Ideen zur Rückschau sind durch dieses Buch angeregt worden.) De Bono, Edward (2002) DeBonos neue Denkschule Mvg, Landsberg (De Bono beschreibt eine Reihe von Denktechniken und benutzt Abkürzungen für Werkzeuge, um deren Anwendung zu erleichtern.) Dörner, Dietrich (1987) Problemlösen als Informationsverarbeitung Kohlhammer, Stuttgart Dörner, Dietrich (1989) Die Logik des Misslingens Rowohlt, Reinbek Dörner, Dietrich (1998) Bauplan für eine Seele Rowohlt, Reinbek (Der Psychologie-Professor Dietrich Dörner untersucht seit Jahrzehnten, wie Menschen sicch beim Problemlösen verhalten. Die Bücher Dörners haben die Ideen auf diesen Seiten außerordentlich stark geprägt.) Engel, Arthur (1998) Problem-Solving Strategies Springer, New York (Aus den Büchern von Engel und Zeitz stammen viele Techniken zum Lösen mathematischer Probleme. Diese Bücher beschäftigen sich vorwiegend mit Aufgaben aus großen Mathematik- Wettbewerben wie dem Bundeswettbewerb Mathematik BWM, weiteren nationalen Mathematik- Olympiaden wie der USAMO, sowie der Internationalen Mathematik-Olympiade IMO.) Fobes, Richard (1993) The Creative Problem Solver"s Toolbox Solutions Through Innovations, Portland (Dieses Buch enthält im Anhang eine Übersicht "Radial Outline Of The Creative Problem Solver"s Tools". Sowohl in der Grundidee wie auch in der Darstellung ist die Verwandtschaft zum Werkzeug- Mapping sehr groß. Mind Maps selbst werden in dem Buch jedoch nicht behandelt.) Funke, Joachim (2003) Problemlösendes Denken Kohlhammer, Stuttgart Heuser, Harro (1990) Lehrbuch der Analysis, Teil 1 Teubner, Stuttgart (Hieraus stammt das Kapitel über unendliche Reihen.) Higgins, James M. (1994) 101 Creative Problem  Solving Techniques The New Management Publishing Company, Winter Park (Eine Fundgrube, insbesondere für Gruppen- Arbeitsmethoden.) Hoenig, Christopher (2000) The Problem Solving Journey Perseus Publishing, Cambridge (Mass.) Jones, Morgan D. (1998) 14 Powerful Techniques for Problem Solving Three Rivers Press, New York (Ein früherer Mitarbeiter des CIA beschreibt Lösungstechniken, zum Beispiel zur Beurteilung von Indizien.) Leuders, Timo (2001) Qualität im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I und II Cornelsen Scriptor, Berlin Leuders, Timo (Hrsg.) (2003) Mathematik-Didaktik Cornelsen Scriptor, Berlin (Leuders behandelt u.a., wie Mind Maps beim Lösen mathematischer Probleme und beim Mathematiklernen benutzt werden können.) Lochhead, Jack (2001) Thinkback. A User"s Guide to Minding the Mind Lawrence Earlbaum Associates, New Jersey (Ideen zu TAPPS = Thinking Aloud Pair Problem Solving in Verbindung mit Visualisierungstechniken.) Mason, John (1985) Hexeneinmaleins. Kreativ mathematisch denken. Oldenbourg, München (Hieraus stammen viele Ideen über die Prozesse, die beim Lösen mathematischer Probleme ablaufen. Erschienen 2005 unter dem neuen Titel: Mathematisch denken. Mathematik ist keine Hexerei.) Metzig, Werner; Schuster, Martin (2003) Lernen zu lernen Springer, Berlin Michalko, Michael (2001) Cracking Creativity Ten Speed Press, Berkeley (Kreativitätswerkzeuge.) Müller, Horst (2005) Mind Mapping. Haufe, Planegg (Gut und günstig.) Needham, Tristan (1998) Visual Complex Analysis Oford University Press (Verblüffende Veranschaulichungen zu Sätzen der Funktionentheorie. Zeitz empfiehlt das Buch zu Recht mit großem Nachdruck.) Nelson-Jones, Richard (1997) Using Your Mind Cassell, London (Das Buch beschäftigt sich umfassend mit Strategien zum Umgang mit Emotionen beim Problemlösen. "Coping" spielt eine zentrale Rolle.) North, Klaus (2002) Wissensorientierte Unternehmensführung Gabler, Wiesbaden Nückles, Matthias; Gurlitt Johannes; Pabst, Tobias; Renkl, Alexander (2004) Mind Maps & Concept Maps. Visualisieren - Organisieren - Kommunizieren dtv, München Von der Oelsnitz, Dietrich; Hahmann, Martin (2003) Wissensmanagement Kohlhammer, Stuttgart (In diesem Buch und dem vorher genannten von North geht es um Prozesse und Techniken zur Weitergabe von Wissen.) Perkins, David (2001) Geistesblitze. Innovatives Denken lernen mit Archimedes, Einstein & Co. Campus, Frankfurt (Perkins benutzt sehr interessante Landschaftsmetaphern, um Denkprobleme und Denkstrategien zu diskutieren.) Perkins, David (1995) Outsmarting IQ: The Emerging Science Of Learnable Intelligence The Free Press, New York (Perkins stellt u.a. die große Rolle "reflektiver" Intelligenz heraus.) Polya, George (1988) How to Solve It (dt.: Schule des Denkens) Princeton University Press, Princeton (Hier beschreibt Polya eine allgemeine Heuristik zum Lösen mathematischer Probleme.) Polya, George (1967) Vom Lösen mathematischer Aufgaben. Einsicht und Entdeckung, Lernen und Lehren Birkhäuser, Basel und Stuttgart. (Ein weiterer Klassiker zum Thema Problemlösen in der Mathematik.) Posamentier, Alfred S.; Krulik, Stephen (1998) Problem-Solving Strategies for efficient and elegantt Solutions. A Resource for the Mathematics Teacher Corwin Press, California Pricken, Mario (2001) Kribbeln im Kopf Schmidt, Mainz (Kreativitätstechniken für die Werbebranche. Die Beispiele, meist Werbeanzeigen oder - plakate, sind äußerst unterhaltsam.) Robertson, S. Ian (2001) Problem Solving Psychology Press, Hove Rubinstein, Moshe F. (1986) Tools for Thinking and Problem Solving Prentice-Hall, Englewood Cliffs Sell, Robert; Schimweg, Ralf (2002) Probleme lösen Springer, Berlin (Zentral in diesem Buch ist eine allgemeine Vorgehensweise zum Lösen von Problemen. Zudem gibt es viele Überlegungen zu den Eigenschaften von Problemlösungswerkzeugen.) Straker, David (1997) Rapid Problem Solving with Post-it Notes Fisher Books, o.O. (Straker beschreibt verschiedene Techniken, in denen die verbreiteten Haftnotizen zum Lösen von Problemen eingesetzt werden.) Wickelgren, Wayne (1995) How to Solve Mathematical Problems Dover, New York Zeitz, Paul (1999) The Art and Craft of Problem Solving Wiley, New  York (Mein Lieblingsbuch zum Lösen mathematischer Probleme. Auch hier stammen viele Aufgaben aus Mathematik-  Wettbewerben, insbesondere der USAMO und der IMO.)

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Über den Autor

Ich heiße Thomas Teepe, wurde 1971 in Ibbenbüren (Westfalen) geboren, habe in Münster Mathematik und Physik studiert, war während dieser Zeit Stipendiat der Studienstiftung des deutschen Volkes, habe 2001 in Münster mit einer Arbeit über Genetische Algorithmen in Mathematik promoviert, arbeite als versicherungsmathematischer Berater bei einem Software- und Beratungshaus und lebe in Stuttgart. Meine Adresse:  

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Ich bin sehr interessiert an den Erfahrungen anderer mit dem Problemlösen, an Verbesserungsvorschlägen, alternativen Ideen, Literaturhinweisen usw. Schreiben Sie mir: Für Kommentare und Verbesserungsvorschläge zu den Ideen auf dieser Seite bedanke ich mich ganz herzlich u.a. bei den folgenden Personen: Werner Begoihn Dr. Astrid Brinkmann Hans-Jürgen Elschenbroich Dr. Jörg Konopka Dr. Armin Kramer Prof. Dr. Timo Leuders Hubert Massin Prof. Dr. Manfred Prenzel Dr. Frauke Rademann Prof. Dr. Harold Shapiro Martina Teepe Christian Wolf Zudem bedanke ich mich bei denen, die mir im Internet-Portal www.wer- weiss-was.de sehr ausführliche Antworten auf einige Fragen zum Lösen mathematischer Probleme gegeben haben. Für die Unterstützung bei der Arbeit danke ich Gunther Zaiss.