STUDIO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DI UNA FUNZIONE: fasi preliminari dello studio di una funzione di una variabile reale
1. Metto a sistema la funzione con x=0 e ricavo il valore di y e il punto A(0;y); metto a sistema con y=0 e ricavo il valore di x e il punto B(x;0). I punti possono essere più o meno di 2.
1.1. Se l'equazione è fratta, quando ricavo la y elimino devo calcolare il minimo comune multiplo. Se possibile elimino il denominatore e studio solo il numeratore.
2. E' UN POLINOMIO, MA IL POLINOMIO SI TROVA SOTTO UNA RADICE: pongo l'argomento della radice maggiore o uguale a zero e poi lo studio. Se è di primo grado (es: x-1) la risolvo normalmente (es.: x>=-1); se è di secondo grado allora calcolo il DELTA e poi ricavo le soluzioni e studio la parabola; se è di terzo grado scompongo con raccoglimento o con Ruffini, poi studio tutto separatamente.
3. PROIMO PASSO:CALCOLO DEL DOMINIO
3.1. E' UN POLINOMIO: IL C.E. è tutto R
3.2. E' UNA FRATTA
3.2.1. IL NUMERATORE è UN POLINOMIO: non mi dà nessun problema di definizione
3.2.2. ABBIAMO DEI VINTOLI AL NUMERATORE COME RADICI, LOGARITMI O ALTRO
3.2.2.1. IL POLINOMIO E' DI PRIMO GRADO (es: x-1): lo pongo diverso da zero
3.2.2.2. C'E' UNA RADICE QUADRATA O PARI: pongo l'argomento maggiore o uguale a zero e lo studio
3.2.2.3. C'E' UNA RADICE CUBICA O DISPARI: il C.E. è tutto R
3.2.2.4. HO UN LOGARITMO: l'argomento deve essere maggiore di zero
3.2.3. IL POLINOMIO E' DI TERZO GRADO O GRADO SUPERIORE: lo scompongo con raccoglimento o con Ruffini, poi lo studio come se avessi più denominatori
3.2.4. HO UN POLINOMIO AL DENOMINATORE: impongo che il polinomio sia diverso da zero
3.2.4.1. IL POLINOMIO E' DI SECONDO GRADO: calcolo il DELTA e ricavo le soluzioni dell'equazione. Poi impongo che x sia diversa dalle x_1 e x_2 (che sono i punti in cui il polinomio di secondo grado si annulla e la frazione esplode)
3.2.5. HO UNA RADICE CUBICA O DISPARI: impongo che il denominatore sia diverso da zero
3.2.5.1. HO UNA RADICE QUADRATA O PARI: pongo l'argomento STRETTAMENTE MAGGIORE di zero (e non uguale, sennò la frazione ESPLODE)
4. SECONDO PASSO: INTERSEZIONE CON GLI ASSI
5. Si tratta di mettere assieme tutto ciò che abbiamo ricavato dai passi precedenti. La bozza del grafico NON E' il grafico della funzione, ma mi dà un'idea di ciò che stiamo andando a disegnare e del comportamento, seppur approssimato, della funzione. La bozza mi dice dove esiste la funzione, se ci sono degli asintoti verticali, i punti (se esistono) in cui la funzione interseca gli assi delle ascisse e ordinate e, infine, i luoghi del piano cartesiano dai quali la funzione passa o non passa.
6. TERZO PASSO: STUDIO DELLA POSITIVITA'
6.1. SI TRATTA DI RISOLVERE UNA DISEQUAZIONE DI PRIMO O SECONDO GRADO, INTERA O FRATTA.
6.1.1. LA FUNZIONE E' INTERA: pongo tutto maggiore di zero e poi ne studio il segno attraverso il grafico con le ondine (il grafico dei segni).
6.1.2. LA FUNZIONE E' UNA FRATTA: in questo caso, studio separatamente il numeratore e il denominatore ponendo entrambi maggiori di zero. Vedo quando il numeratore è maggiore di zero, poi quando il denominatore è maggiore di zero e, infine, quando queste due cose accadono contemporaneamente mettendo tutto nel grafico con le ondine e studiando il segno della frazione (grafico dei segni)