Create your own awesome maps

Even on the go

with our free apps for iPhone, iPad and Android

Get Started

Already have an account?
Log In

Дифференциальные уравнения by Mind Map: Дифференциальные уравнения
5.0 stars - 1 reviews range from 0 to 5

Дифференциальные уравнения

векторы

решение сис-мы лин.уравнений

метод Крамера

пример

метод Гаусса

пример

метод обратной матрицы

пример

несобственные интегралы

Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости "в отрезках"

Каждое уравнение первой степени (в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении отсутствует свободный член (D=0), то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из текущих координат (то есть какой-либо из коэффициентов A, B, C равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой; если, кроме того, отсутствует свобдный член, то плоскость проходит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов A, B, C равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью. Если в уравнении плоскости ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду (1) где , ,  суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости «в отрезках».

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость. Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение (1) определяет плоскость, проходящую через точку  и имеющей нормальный вектор . Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число  буквой D, представим его в виде . Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

простейшие задачи аналитической геометрии

декартовы прямоугольные координаты

Глава 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, вторая - осью ординат. Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс - символом Ох, ось ординат - символом Оу. Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа ,  ( см. рис. 1), где  и  суть проекции точки М на оси Ох и Оу,  обозначает величину отрезка  оси абсцисс, - величину отрезка  оси ординат. Число х называется абсциссой точки М, число у - ординатой этой же точки. Символ М(х; у) обозначает, что точка М имеет абсциссой число х, а ординатой число у. Ось Оу разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Ох, называется правой, другая - левой. Точно так же ось Оу разделяет плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Оу, называется верхней, другая нижней. Обе координатные оси вместе разделяют плоскость на четыре четверти, которые нумеруют по следующему правилу: первой координатной четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в верхней полуплоскости, второй - лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей - лежащая в левой и в нижней полуплоскости, четвертой - лежащая в правой и в нижней полуплоскости.  

полярные координаты

Глава 3. Полярные координаты Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки). Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа  и (см. рис.). Угол  при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число  называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой). Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты  и . Полярный угол  имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным. В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки). При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам , . В этом же случае формулы ,  являются формулами перехода от декартовых координат к полярным. При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

преобразование координат

Глава 7. Преобразование координат Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами , . Здесь x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O’ относительно старых осей (говорят также, что a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат). Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол  (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами , . Здесь x, y суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей. Формулы ,  определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

Деление отрезка в данном отношении

Глава 5. Деление отрезка в данном отношении Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки (, ) и (, ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам , . Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам , .

Отрезок, егопроекции, длина, полярный угол. Расстояние между двумя точками

Глава 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекция отрезка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая - концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом и точку В концом (см. рис.), обозначается символом  (то есть так же, как отрезок оси). Длина направленного отрезка  (при заданном масштабе) обозначается символом  (или АВ). Проекцией отрезка  на ось u называется число, равное величине отрезка  оси u, где точка  является проекцией точки А на ось u, а точка - проекцией точки В на эту же ось. Проекция отрезка  на ось u обозначается символом . Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозначается символом Х, его проекция на ось Оу - символом Y. Если известны координаты точек (, ) и (, ), то проекции X и Y направленного отрезка  на координатные оси могут быть вычислены по формулам , . Таким образом, чтобы найти проекции направленого отрезка на координатные оси, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала. Угол , на который нужно повернуть положительную полуось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка , называется полярным углом отрезка . Угол  понимается как в тригонометрии. Соответственно этому  имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину ида  (где n - целое положительное число). Главным значением полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам . Формулы ,  выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы , , , которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на координатные оси. Если на плоскости даны две точки (, ) и (, ),, то расстояние d между ними определяется формулой

ось и отрезок. координаты на прямой

Глава 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, огрниченный какими-нибудь точками A и B, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая – концом. Направленный отрезок с началом A и концом B обозначается символом . Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т.е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка  обозначается символом , его длина – символом . Если точки A и B совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очеидно, в этом случае АВ=ВА=0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределенным). Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат. Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число x, равное величине отрезка ОМ: Точка О называется началом координат; ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М(х) означает, что точка М имеет координату х. Если  и  - две произвольные точки прямой а, то формула выражает величину отрезка , формула выражает его длину.  

площадь треугольника

Глава 6. Площадь треугольника Каковы бы ни были три точки A(; ), B(; ), C(; ), площадь S треугольника ABC дается формулой . Правая часть этой формулы равна +S в том случае, когда кратчайший поворот отрезка  к отрезку  положителен, и -Sв том случае, когда такой поворот отрицателен.

матрицы

операции с матрицами

Матрицы, основные понятия Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i - номер строки матрицы, а j - номер столбца матрицы. У матрицы есть 2 диагонали. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ матрицы, а элементы стоящие на другой диагонали образуют вспомогательную диагональ матрицы.Матрица записывается ввиде: Матрицу А называют матрицей размера "m×n" и пишут Аm×n. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. А = В, если aij = bij. Матрица А называется симметричной, если она квадратная и если все aij= аji. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m = n), то матрица называется квадратной. Квадратную матрицу размера "n×n" называют матрицей n - ого порядка. Квадратную матрицу, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называю диагональной матрицей. Диагональная матрица : Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной матрицей. Обозначается буквой Е. Единичная матрица : Квадратная матрица, называется треугольной, если все элементы матрицы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается буквой О. В матричном исчисленииматрицы О и Е играют роль 0 и 1 в арифметике. Матрица, содержащая одну строку или один столбец, называется вектором (Или вектор-строка, или вектор-столбец соответственно). Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированиемматрицы, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцыматрицы В. Обозначается АТ. Другими словами, aij = bji.

сложение

умножение, умножение на число, свойства, переумножение матриц, свойства

определитель матрицы, способ разложения по строке, способ "треугольника", свойства опр.матрицы

элементарные преобразования матриц

применение

собственные числа, пример

собственные векторы матрицы

основные понятия

миноры и алгебраические дополнения

обратная матрица

определитель матрицы

невырожденная матрица, обратная матрица

Невырожденные матрицы, обратная матрица Невырожденные матрицы, обратная матрица   Невырожденные матрицы Пусть А - квадратная матрица n - ого порядка.   Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы (Δ = det A) не равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной. Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица   , где Аij - алгебраическое дополнение элемента аij данной матрицы (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы). Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие: А × А-1 = А-1 × А = Е , где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А.   Обратная матрица Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: X × A = A × X = E , где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А-1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Для получения обратной матрицы используют формулу:   , где Мji дополнительный минор элемента аji матрицы А.   Cвойства обратных матриц: 1) (А-1)-1 = А; 2) (АВ)-1 = В-1А-1; 3) (АТ)-1 = (А-1)Т;  

Аналитическая геометрия

задачи в контрольной работе

кривые второго порядка

прямая и плоскость в пространстве

прямая на плоскости

плоскость

уравнение линии, функция двух переменных, Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения, Вывод уравнений заранее данных линий, Параметрические уравнения линии

линии первого порядка, Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых, Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнение двух и трех прямых. Уравнение прямой "в отрезках", Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой, уравнение пучка прямых, полярное уравнение прямой

Геометрические свойства линий второго порядка, Окружность, Эллипс, гипербола, парабола, Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы, диаметр линий второй порядка

Упрощение общего уравнения линии второго порядка. Уравнения некоторых кривых, центр линии второго порядка, приведение уравнения центральной линии второго порядка к простейшему виду, приведение параболического уравнения к простейшему виду

объем

пространство

Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве, декартовы прямоугольные координаты в пространстве, расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении

векторная алгебра, понятие вектора, проекция вектора, линейные операции над векторами, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение трех векторов, двойное векторное произведение

уравнение поверхности и уравнение линии, уравнение поверхности, уравнение линии. Задача о пересечении трех поверхностей, Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей

уравнение плоскости. уравнение прямой. уравнение поверхности второго порядка, Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости, Уравнения прямой, Направляющий вектор прямой, Сфера, Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике, Поверхности второго порядка

дифференциальное исчисление

пределы, непрерывность функции

производные функций

приложения производной

приближенное решение алгебраических уравнений

интегральное исчисление

неопределенный интеграл

применения определенных интегралов

как выбрать вариант

по последним 2 цифрам паспорта

предпоследняя цифра паспорта - значение А последняя цифра паспорта - значение В