Forma canonică
Reamintim că pentru orice x ∈ R
ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²]
Rezultă că pentru orice x ∈ R, avem
f(x) = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] (1)
Membrul drept al egalităţii (1) se numeşte forma canonică a funcţiei pătratice.
Numărul Δ = b² - 4ac, discriminantul ecuaţiei asociate (ax² + bx + c = 0), se mai numeşte
discriminantul funcţiei pătratice.
Observăm că f(-b/2a) = -Δ/4a
Maximul şi minimul
În general, având în vedere forma canonică a funcţiei pătratice f(x) = ax² + bx + c şi
faptul că f(-b/2a) = -Δ/4a, rezultă că pentru orice x ∈ R
f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)²
Constatăm că semnul diferenţei din membrul stâng depinde de semnul numărului a,
deci pentru orice x ∈ R avem:
2
o dacă a > 0, f(x) ≥ f(-b/2a), deci f admite un minim pe R;
o dacă a < 0, f(x) ≤ f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R;
Fie funcţia f : R→R, f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0.
o Dacă a > 0, minimul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim
este –b/2a.
o Dacă a < 0, maximul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim
este –b/2a.

Funcţia de gradul II