1. Límites bilaterales
1.1. Para explorar algunos fenómenos a través de la lente de los límites bilaterales, puede ser más pertinente examinar el comportamiento de la variable independiente en valores que están por debajo o por encima de un valor dado.
1.2. Limite por la izquierda
1.2.1. Límite por la izquierda: Se utiliza para evaluar el comportamiento de una función cuando nos acercamos a un punto desde la izquierda. En otras palabras, se evalúa cómo se comporta la función cuando los valores de x se acercan al punto límite a desde la izquierda
1.3. Limite por la derecha
1.3.1. Se usa para evaluar el comportamiento de una función cuando nos acercamos a un punto desde la derecha. En otras palabras, se evalúa cómo se comporta la función cuando los valores de x se acercan al punto límite a desde la derecha
1.4. Teorema 12
1.4.1. lim_(x→a^- )〖f(x)=L〗, lim_(x→ a^+ )〖f(x)=L〗
1.4.1.1. Una función f(x) tiene un límite en a si y solo si tiene límites por la izquierda y por la derecha y estos son iguales.
2. ¿Que son?
2.1. Reglas que reducen significativamente la aplicación de la definición de límite
3. Límites al infinito
3.1. lim_(x→∞)〖f(x)=L〗
3.1.1. Si la constante a que es el valor al cual tiende la variable independiente x va tomando valores cada vez más grandes sin detenerse en cota superior alguna se dice que entonces la variable x tiende al infinito.
3.2. lim_(x→-∞)〖f(x)=L〗
3.2.1. De la misma, manera, si la constante a va tomando valores negativos cada vez más y más grandes sin detenerse en cota inferior alguna, entonces se dice que la variable x tiende al infinito negativo.
4. Referencias
4.1. Alvarado, M. y Franchini, C. (2016). Cálculo diferencial en competencias. México: Grupo Editorial Patria. Recuperado de la base de datos elibrocatedra (7444657).
4.2. Aguilar, A., Bravo, F., Gallegos, H., Cerón, M., y Reyes, R. (2016). Cálculo diferencial (4a. ed.). México: Pearson. [Versión en lineal. Recuperado de la base de datos elibrocatedra (4870785)
4.3. Rodriguez, F., Navarro, C., Maldonado, E., Romero, J., Vicario, M. Campistrous, L., y Rizo, C. (2018). Iniciación al álgebra ele mental. Madrid, España: Ediciones Díaz de Santos. [Versión en linea). Recuperado de la base de datos elibrocatedra, (5349711)
5. Límites unilaterales
5.1. Teorema 1
5.1.1. Si el limite existe, entonces es único
5.1.1.1. lim_(𝑥 →𝑎)〖 𝑓(𝑥)= 𝐿〗lim_( 𝑥 → 𝑎)〖 𝑓( 𝑥 )=𝑀, Entonces L=M. En otras palabras, el límite es único.
5.2. Teorema 2
5.2.1. Si C es una constante, lim_(𝑥→𝑎)〖 𝑐=𝑐〗
5.2.1.1. Si c es una constante, entonces el límite de la función f(x) = c cuando x se aproxima a cualquier valor a es c.
5.3. Teorema 3
5.3.1. lim_(x→𝑎)〖𝑥= 𝑎〗
5.3.1.1. El límite de la función identidad f(x) = x cuando x se aproxima a cualquier valor a es a
5.4. Teorema 4
5.4.1. lim_(𝑥→𝑎)〖[𝑓(𝑥)± 𝑔(𝑥)]= 𝐿±𝑀 〗
5.4.1.1. Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites existen cuando x se aproxima a a, entonces el límite de la suma f(x) + g(x) cuando x se aproxima a a es la suma de los límites de f(x) y g(x), es decir, lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x).
5.5. Teorema 5
5.5.1. lim_(𝑥→𝑎)〖[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥 )]=𝐿𝑀〗
5.5.1.1. Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites existen cuando x se aproxima a a, entonces el límite del producto f(x)g(x) cuando x se aproxima a a es el producto de los límites de f(x) y g(x), es decir, lim [f(x)g(x)] = lim f(x) · lim g(x).
5.6. Teorema 6
5.6.1. lim_(𝑥 →𝑎)〖[( 𝑓( 𝑥))/(𝑔 (𝑥))]= 𝐿/ 𝑀, 𝑠𝑖 𝑀 ≠0〗
5.6.1.1. Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites existen cuando x se aproxima a a, y g(x) no se aproxima a cero en a, entonces el límite del cociente f(x)/g(x) cuando x se aproxima a a es el cociente de los límites de f(x) y g(x), es decir, lim [f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x).
5.7. Teorema 7
5.7.1. lim_(𝑥→𝑎)〖𝑐𝑓(𝑥 )=𝑐𝐿〗
5.7.1.1. Si se multiplica una función f(x) por una constante c, y el límite de f(x) existe en el punto a, entonces el límite de c f(x) será igual a c multiplicado por el límite de f(x).
5.8. Teorema 8
5.8.1. si c es una constante, lim)_( 𝑥→𝑎)〖[ 𝑓(𝑥 )]^ 𝑛=𝐿 ^ 𝑛 〗
5.8.1.1. Si una función f(x) se eleva a una potencia, y el límite de f(x) existe en el punto a, entonces el límite de f(x) elevado a la misma potencia será igual al límite de f(x) elevado a la misma potencia.
5.9. Teorema 9
5.9.1. lim_(𝑥→𝑎)〖𝑝( 𝑥)= 𝑝(𝑎 )〗
5.9.1.1. si una función p(x) es continua en el punto a, entonces el límite de p(x) cuando x se aproxima a a desde la izquierda o desde la derecha será igual al valor de p(a)
5.10. Teorema 10
5.10.1. lim_(𝑥→𝑎)〖√(𝑓(𝑥 ))=√𝐿, 𝑠 𝑖 𝐿 ≥0〗
5.10.1.1. Si f(x) es una función y el límite de f(x) cuando x se aproxima a a desde la izquierda o desde la derecha es L, entonces el límite de la raíz cuadrada de f(x) cuando x se aproxima a a desde la izquierda o desde la derecha es la raíz cuadrada de L, siempre y cuando L sea un número real positivo.
5.11. Teorema 11
5.11.1. lim_(𝑥→𝑎)〖n√ 𝑓( 𝑥 )=n√ 𝐿〗
5.11.1.1. Teorema de la raíz n-ésima: Si f(x) es una función y el límite de f(x) cuando x se aproxima a a desde la izquierda o desde la derecha es L, entonces el límite de la raíz n-ésima de f(x) cuando x se aproxima a a desde la izquierda o desde la derecha es la raíz n-ésima de L, siempre y cuando L sea un número real positivo y n sea un número natural.
6. Continuidad de una función
6.1. Una función tendrá continuidad si no se presentan en ella puntos de ruptura, es decir, puntos donde la función no se encuentre definida o bien, en el caso de que el límite de la función no exista cuando la variable independiente tiende a dicho punto.
6.1.1. Una función f es continua en a si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones
6.1.1.1. 1- f(a) existe
6.1.1.2. 2- lim_(x→a)〖f(x)〗existe
6.1.1.3. 3- lim_(x→a)〖f(x)〗= f(a)
6.2. Una función será discontinua si se presentan en ella puntos de ruptura.
6.2.1. Discontinuidad esencial
6.2.1.1. La función no cumple una o más de las tres condiciones.
6.2.2. Discontinuidad removible
6.2.2.1. La función se puede redefinir de tal manera que se cumpla la tercera condición de continuidad.
7. Límites infinitos
7.1. Este tipo de función se debe revisar para ver cómo se comporta cuando la variable independiente x se acerca al valor objetivo tanto por la izquierda como por la derecha, especialmente si se observa que el valor de la función f(x) aumenta arbitrariamente cuando la variable x se aproxima a un valor determinado.
7.1.1. Existen 4 casos
7.1.1.1. Caso 1
7.1.1.1.1. Cuando la variable independiente x tiende al valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito positivo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, le valor de la función f(x) tiende a infinito positivo.
7.1.1.2. Caso 2
7.1.1.2.1. Cuando la variable independiente x tiende al valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito positivo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, le valor de la función f(x) tiende a infinito negativo.
7.1.1.3. Caso 3
7.1.1.3.1. Cuando la variable independiente x tiende al valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, le valor de la función f(x) tiende a infinito positivo.
7.1.1.4. Caso 4
7.1.1.4.1. Cuando la variable independiente x tiende al valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, le valor de la función f(x) tiende a infinito negativo.