Геометрия на шаре- раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы. Сфери...
1. Сфера радиуса R есть множество точек пространства, удаленных от данной точки на положительное расстояние R. В координатном пространстве сфера с центром O(a;b;c) и радиусом R задается уравнением: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 Сфера является фигурой вращения. При вращении полуокружности радиуса R вокруг её диаметра получаеся сфера радиуса R.
1.1. Теорема 1. Сечение сферы радиуса R плоскостью, отстоящей от её центра на расстояние d, 0£d<R, есть окружность радиуса r, причем:
1.2. Теорема 2. Сечения, равноудаленные от центра сферы, имеют равные радиусы.
1.3. Определение 1. Сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр (d=0) называется большой окружностью.
1.4. Теорема 3. Прямая, проходящая через центр сферы и центр окружности сечения, перпендикулярна плоскости сечения
1.5. Теорема 4. Через любые четыре точки, не лежащие в одной плоскости, можно провести сферу и притом только одну.
1.6. Определение 2. Многогранник называется вписанным в сферу (а сфера описанной около многогранника), если все вершины многогранника лежат на сфере.
1.7. Определение 3. Сфера называется вписанной в многогранный угол (а многогранный угол описанным около сферы), если она касается каждой его грани.
1.8. Определение 4. Шар радиуса R есть геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки не более чем на расстояние R (R>0).
1.9. Это Интересно:
2. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние - радиусом шара. Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от центра шара на заданное расстояние — радиус шара.
2.1. Теорема 1. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центрана секущую плоскость.
2.1.1. Доказательство. Пусть α - секущая плоскость и О — центр шара. Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость о и обозначим через О' основание этого перпендикуляра. Теперь возьмем точки A и B, принадлежащие сфере шара, и плоскости α. Соединим O' и A. Соединим O' и B. OO' перпендикулярна плоскости O. (по построению), значит она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, то есть перпендикулярна OA и O'B, =>треугольники OOOA и OO'B перпендикулярные. Они равны по катету и гипотенузе (OO' — общая, OA=OB — радиусы шара). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть O'A = O'B. Таким образом можно доказать, что точка O' равноудалена от всех точек фигуры, образовавшейся при пересечении плоскости и шара. А так как точка O' и все равноудаленные от нее точки находятся в одной плоскости, то можно заключить, что эта фигура — окружность. А если взять еще и все точки плоскости ех заключенные в этой окружности, то получится круг.
2.2. Определение. Плоскость, имеющая с шаром одну единственную общую точку, называется касательной к этому шару.
2.3. Теорема 2. Радиус, проведенный в точку касания шара с плоскостью, перпендикулярен этой плоскости.
2.3.1. Доказательство. Пусть α - касательная плоскость и А — точка касания, О — центр шара. Возьмем в плоскости α точки B и C, не совпадающие с точкой A и между собой. Отрезки OC и OB пересекают шар соответственно в точках K и M. OC = OK+KC = R + KC>OA=ROB = OM + MB = R+MB>OA=R Видно, что OA — самое короткое расстояние от точки O до плоскости α. По определению, самым коротким расстоянием от точки до плоскости является перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Значит, отрезок OA перпендикулярен плоскости α. Ч.т.д.