Matriz inversa

1. La matriz inversa no siempre existe, para que exista, es condición necesaria y suficiente que el determinante de la matriz sea distinto de cero

2. El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.

2.1. A * A-1 = A-1 * A = I

2.1.1. Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.

3. Propiedades de la matriz inversa

3.1. 1 ( A * B )-1 = B-1 * A-1

3.2. 2 (A-1)-1 = A

3.3. 3 (K * A)-1 = K-1 A-1

3.4. 4 (At)-1 = (A-1)t

4. Cálculo por determinantes

4.1. El cálculo de una matriz inversa por determinantes se basa en el siguiente resultado

4.2. A -1 Matriz Inversa

4.3. | A | Determinante de la matriz

4.4. A* Matriz adjunta

4.5. (A*)t Matriz traspuesta de la adjunta

5. Aunque existe otro procedimiento para calcular la inversa a través de transformaciones elementales ( método de Gauss), la formula con la que se calcula la matriz inversa es

6. Requisitos

6.1. Para encontrar la matriz inversa de una matriz de orden n necesitamos cumplir con los siguientes requisitos:

6.1.1. La matriz tiene que ser una matriz cuadrada.

6.2. El número de filas (n) tiene que ser el mismo que el número de columnas (m). Es decir, el orden de la matriz tiene que ser n dado que n=m.

6.3. El determinante de la matriz debe ser distinto de cero (0) dado que participa en la fórmula como denominador. Si el denominador fuera un cero (0) tendríamos una indeterminación.

6.4. Si el denominador (ad – bc) = 0, es decir, el determinante de la matriz X es igual a cero (0), entonces la matriz X no tiene matriz inversa.

7. Propiedad

7.1. Una matriz cuadrada X de orden n tendrá una matriz inversa X de orden n, X-1, tal que cumple que

7.1.1. X * X-1 = X-1 X = Ln

7.1.1.1. Propiedad de la matriz inverza

7.2. El orden de los elementos de la multiplicación no es relevante, es decir, la multiplicación de una matriz cuadrada cualquiera por su matriz inversa siempre resultará en la matriz identidad del mismo orden.

7.2.1. En este caso, el orden de la matriz X es 2. Entonces, podemos reescribir la propiedad anterior como:

7.2.1.1. X * X-1 = X-1 X = L2

7.2.1.1.1. Propiedad de la matriz inverza