1. Natürliche Zahlen
1.1. Rechenoperationen & Grundvorstellungen
1.1.1. Grundvorstellungen zur Division
1.1.1.1. Aufteilen
1.1.1.2. Verteilen
1.2. Zahldarstellung & Stellenwertsystem(e)
1.2.1. Bündelungsprinzip
1.2.2. Stellenwertprinzip
1.2.3. Arbeitsmittel
1.2.3.1. Zehnersystemblöcke
1.2.3.2. Zahlenkartensatz
1.2.3.3. Stellenwerttafel
1.3. Rechenstrategien und Algorithmen
1.3.1. Prototypische Strategien für Addition und Subtraktion bzw. halbschriftliches Rechnen
1.3.1.1. Schrittweise
1.3.1.2. Stellenweise
1.3.1.3. Ergänzen
1.3.1.4. Hilfsaufgabe
1.3.1.5. Vergleichsaufgabe
1.4. Zahlaspekte
1.4.1. Kardinalzahlaspekt
1.4.2. Ordinalzahlaspekt
1.4.2.1. Ordnungszahlaspekt
1.4.2.2. Zählzahlaspekt
1.4.3. Maßzahlaspekt
1.4.4. Operatoraspekt
1.4.5. Rechenzahlaspekt
1.4.5.1. Algebraischer Rechenzahlaspekt
1.4.5.2. Algorithmischer Rechenzahlaspekt
1.4.6. Kodierungszahlaspekt
2. Algebra
2.1. Äquivalenz von Gleichungen
2.1.1. Gleichungen lösen – Modelle
2.1.1.1. Operatormodell
2.1.1.2. Streifenmodell
2.1.1.3. Boxmodell
2.1.1.4. Waagenmodell
2.2. Gleichungen
2.2.1. Informelle Lösungsstrategien
2.2.1.1. (Un)Systematisches Probieren
2.2.1.2. Nutzung von Umkehraufgaben
2.2.1.3. Termvergleich
2.2.1.4. Gegenoperationen
2.3. Äquivalenz von Termen
2.3.1. Typische Fehler
2.3.1.1. Fehlinterpretation der Termstruktur
2.3.1.2. Verwechseln von oberflächlich ähnlichen Termen
2.3.1.3. Übergeneralisierte Regeln
2.3.1.4. Ganz allgemein: Probleme beim Erkennen und Nutzen der Termstruktur
2.4. Variablen
2.4.1. Aspekte
2.4.1.1. Gegenstandsaspekt
2.4.1.2. Einsetzungsaspekt
2.4.1.3. Kalkülaspekt
2.4.2. Schülervorstellungen
2.4.2.1. Symbol als Objekt
2.4.2.2. Eingeschränkte Platzhaltervorstellung
2.4.2.3. Das Symbol als generalisierte Zahl
2.4.2.4. Das Symbol als beliebige Zahl
2.4.2.5. Das Symbol als Variable
3. Fehlerursachen (nicht nur) bei der Bruchrechnung
3.1. Fehlendes konzeptuelles Wissen
3.1.1. Intervention: z.B. Arbeit an der grundlegenden Vorstellungen
3.2. Unzureichende Trennung von Konzepten
3.2.1. Intervention: z.B. conceptual change, Kontrastierung
3.3. Fehlerhafte semantische Induktion
3.3.1. Intervention: Strategien zum Situationsverständnis
3.4. Verwechseln oder Fehlanwendung arithmetischer Prozeduren
4. Dezimalbruchzahlen
4.1. typische (Fehl-)Strategien
4.1.1. Kein-Komma-Strategie
4.1.2. Komma-Trennt-Strategie
4.1.3. Nullstrategie
4.1.4. typische Fehler
4.1.4.1. 0.20 ≠ 0.2, da 20 ≠ 2
4.1.4.2. 0.4<0.17, weil 4<17 (richtig: 0.4>0.17)
4.1.4.3. 0.38 + 0.7 = 0.45, da 38 + 7 = 45 (richtig: 0.38+0.7=1.08)
4.1.4.4. Sprechweise legt „Scheinstellenwert“ nahe: 0.5 ; 0.51 ; 0.512
4.2. Arbeitsmittel
4.2.1. Zehnerblöcke (Dienes-Material)
4.2.2. Rechengeld
4.2.3. Lineare Arithmetikblöcke
4.2.4. Stellenwerttafel
4.2.5. Zahlenkartensatz
4.2.6. Zahlenstrahl
4.3. Didaktische Konzepte
4.3.1. Größenkonzept
4.3.2. Zehnerbrüchekonzept
4.3.3. Stellenwertkonzept
5. Ganze Zahlen
5.1. Multiplikation & Division
5.1.1. nat. Zahl mal neg. Zahl
5.1.1.1. Permanenzprinzip
5.1.1.2. Permanenzreihe
5.1.1.3. Nutzung des "Malkreuzes"
5.2. Modelle
5.2.1. Zahlenstrahlmodelle
5.2.1.1. Skalenpunktmodell
5.2.1.2. „Bewegungen auf dem Zahlenstrahl“
5.2.2. Ausgleichsmodelle
5.2.2.1. Guthaben-Schulden-Modelle
5.3. Division
5.3.1. Informelle Strategien
5.3.1.1. Verteilen
5.3.1.2. Aufteilen
6. Bruchzahlen
6.1. Arbeitsmittel
6.1.1. Mittel zur Zahldarstellung
6.1.1.1. Diskrete Modelle
6.1.1.2. Rechteckmodelle (kontinuierlich)
6.1.1.3. Kreismodelle
6.1.1.4. Längenmodelle
6.2. Grundvorstellungsumbrüche
6.2.1. Nicht-eindeutige Zahldarstellung
6.2.2. Notwendigkeit, 2 Infos zur Zahlerfassung zu kombinieren
6.2.3. Dichte der Bruchzahlen
6.2.4. Multiplikation & Division
6.2.5. Umgang mit Grundvorstellungsumbrüchen
6.2.5.1. conceptual change
6.2.5.1.1. Unzufriedenheit mit der existierenden Vorstellung
6.2.5.1.2. Verständlichkeit der neuen Vorstellung
6.2.5.1.3. Plausibilität der neuen Vorstellung
6.2.5.1.4. Fruchtbarkeit der neuen Vorstellung
6.3. Bruchzahlaspekte
6.3.1. Anteilaspekt
6.3.1.1. Teil eines Ganzen
6.3.1.2. Teil mehrerer Ganzer
6.3.2. Operatoraspekt
6.3.3. Quasikardinalität
6.3.4. Maßzahlaspekt
6.3.5. Skalenwert
6.3.6. Quotientenaspekt
6.3.7. Lösung einer linearen Gleichung
6.3.8. Verhältnisaspekt
6.4. Informelle Strategien
6.4.1. Wiederholte Addition
6.4.2. Wiederholte Subtraktion
6.4.3. Schützstrategien
6.4.3.1. Schätzen & Überprüfen durch Addition
6.4.3.2. Schätzen & Verteilen
6.4.4. Rückgriff auf die Multiplikation