1. Definicion:
1.1. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. ... Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.
2. Para que sirve
2.1. La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos)
3. Reglas de derivación
3.1. Las reglas de derivación son todos lo métodos que se necesitan para realizar calculo de derivadas de una determinada función. Estas reglas son la base del conocimiento para realizar correctamente las operaciones.
3.1.1. Regla de la cadena
3.1.1.1. La regla de la cadena es una fórmula que te permitirá obtener la derivada de funciones más complejas, por ejemplo, 3(sin(x))2 ó 2x−−√. Como ves, en estos dos ejemplos tenemos otra función allí donde antes teníamos simplemente x.
3.1.1.2. -La derivada de una función f(x) en un punto x=a se define como el valor del límite, cuando existe de un cociente incrementado o incremental, si ese incremento que tiene la variable es similar a cero. -Derivada algebraica La derivada es la pendiente de una recta tangente a la función de un determinado punto, por lo que la función tiene que estar en ese punto donde se podrá trazar una recta que es tangente en él. -Derivada del producto La derivada de un producto en dos funciones es similar al primer factor multiplicado por la derivada del segundo sumándole el segundo factor y multiplicándolo por la derivada del primero. Ejemplo:f(x)=u.v entonces f’(x)=u’.v+u.v’ -Derivada del cociente La derivada que tiene un cociente en dos funciones es similar a la derivada que tiene el numerador multiplicada por el denominador y menos la derivada que tiene el denominador por el numerador, dividida entre el cuadrado que tiene el denominador. Ejemplo: si f(x)=u/v Entonces f’(x)=u’.v –u.v’ V 2 -Derivadas exponenciales La derivada de una función que es exponencial es igual a esa misma función por el logaritmo de la base o neperiano multiplicado por la derivada del exponente. Ejemplo: f(x)=au entonces f’(x)=u’.au .Ina Derivada inmediata La derivada que tiene una constante siempre es cero Si f(x)= k entonces su derivada será f’(x)=0 -Derivada de suma La derivada de la suma que tiene dos funciones es similar a la suma de las demás derivadas que tienen esas funciones. Esta regla se aplica a números de sumandos tanto positivos como negativos. Ejemplo: f(x)=u ± v entonces F”(x)=u” ± v -Derivadas de orden superior La derivada de cualquier función es derivada de una segunda función cuando si f(X) es una determinada función y tiene una primera derivada f’(x) si la derivada que tiene la función que se ha obtenido, cuando se ha aplicado la derivada, se denomina segunda derivada. Derivada de la función trigonométrica Es un proceso en matemática mediante el cual una función trigonométrica cambia con relación a la variable independiente o derivada de una función. Estas funciones de tipo trigonométrico son sin(x), cos(x) y tan(x). Funciones de derivación implícitas Es implícita cuando en una función la y son se encuentra despejada y la relación que se da entre x e y está dada por una ecuación de dos tipos de incógnitas en las que el segundo miembro es cero. Para encontrar la derivación implícita no se necesita despejar y solo tienes que derivar miembro a miembro. Ejemplo: x1=1, entonces y1≠1. Se omite x1 y se deja y1. Derivadas trigonométricas inversas Son las funciones inversas a las razones de trigonometría definidas por el seno, coseno y la tangente. Ejemplo: El arcoseno tiende a ser una función inversa del seno.
4. Tipos de derivadas
4.1. IMPLICITAS
4.1.1. una función está definida en forma implícita, cuando no aparece despejada la variable \displaystyle y , sino que la relación entre \displaystyle x e \displaystyle y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Función explícita y=f(x) , por ejemplo y={x} Función implícita f(x,y)=0 , por ejemplo -x+y^2=0
4.2. EXPLICITAS
4.2.1. Derivada Explicita, para esta derivada, despejas y (variable dependiente), y derivas con respecto a x la función resultante:3x + 8y -xy =1; y(8 - x) = 1 - 3x; (1- 3x) y = --------------; aplicamos derivada de un cociente (8- x) -3(8 - x) - (1- 3x)(-1) y' =----------------- (8- x)^2 23 - 2x y'=----------- 64 -16x + x^2
4.3. SUCESIVAS
4.3.1. Las derivadas sucesivas son las derivadas de una función después de la segunda derivada. El proceso para calcular las derivadas sucesivas es el siguiente: se tiene una función f, la cual podemos derivar y obtener así la función derivada f’. A dicha derivada de f podemos volver a derivarla, obteniendo (f’)
4.4. PARCIALES
4.4.1. La derivada es un concepto propio del cálculo. La definición textual más precisa es la pendiente de la recta tangente a la función dada. Esto ocurre en una función común de dos variables.