Serie numérica y de convergencia.

1. Suma aproximada de series alternadas.- Si la serie ∑n=1∞(−1)n−1an (an>0) converge porque verifica las hipótesis del teorema de Leibniz, el error cometido al tomar como suma de la serie el valor de la suma parcial enésima, Sn, es menor que el primer término no sumado; este error será ∙ por exceso si el primer término despreciado es negativo, ∙ por defecto si el primer término despreciado es positivo.

2. La condición de que la suceción {an} sea decreciente establecida en el teorema anterior es una condición suficiente, no necesaria para la convergencia de la serie. Si la serie ∑n=1∞(−1)n−1an (an>0) converge porque verifica las hipótesis del teorema de Leibniz, el valor absoluto del resto enésimo se puede acotar fácilmente: Rn=S−Sn=(−1)nan+1+(−1)n+1an+2+…=(−1)n(an+1−an+2+an+3−…) o bien Rn=(−1)n[an+1−(an+2−an+3)−(an+4−an+5)]… al ser la sucesión {an} decreciente cada uno de los paréntesis de la expresión anterior es positivo, con lo cual |Rn|<an+1

3. Definición(Serie alternada).- Una serie alternada se puede escribir de una de las formas siguientes: ∙ ∑n=1∞(−1)n−1an=a1−a2+… siendo an positivo para todo n ∙ ∑n=1∞(−1)nan=−a1+a2+… siendo an positivo para todo n

4. A consecuencia de esto, sabemos que si la serie no cumple que limn→∞an=0 esa serie ya no puede ser convergente, pero si se cumple que limn→∞an=0 no puede determinarse nada sobre el carácter de la serie y hay que proseguir el análisis. Para ello se utilizan los criterios de convergencia, pues en la mayor parte de los casos no es posible analizar la convergencia de la sucesión de sumas parciales.

5. IMPORTANTE.- Que el término general de la serie tienda a cero es una condición necesaria para la convergencia de la serie, pero no es una condición suficiente, como muestra la serie armónica ∑n=1∞1n que cumple esta condición necesaria al ser limn→∞1n=0 y sin embargo se trata de una serie divergente: la sucesión de sumas parciales Sn=1+12+…+1n es divergente.

6. Criterio del cociente.- Si an>0 y limn→∞anan−1=L o limn→∞an+1an=L entonces ∙ Si L<1, la serie ∑n=1∞an es convergente ∙ Si L>1, la serie ∑n=1∞an es divergente ∙ Si L=1, es un caso dudoso; sabremos que la serie ∑n=1∞an es divergente si existe N0 tal que anan−1>1 o an+1an>1 para n>N0.

7. Criterio de comparación.- Si an>0 y bn>0, ∙ Si an≤bn para todo n a partir de uno dado y la serie ∑n=1∞bn es convergente, entonces la serie ∑n=1∞an también es convergente. ∙ Si an≤bn para todo n a partir de uno dado y la serie ∑n=1∞an es divergente, entonces la serie ∑n=1∞bn también es divergente.

8. Series alternadas

9. Criterios de convergencia para series de términos positivos

10. Series de términos cualesquiera Definición (Serie absolutamente convergente).- Una serie ∑n=1∞an se dice absolutamente convergente si la serie de sus valores absolutos es convergente, es decir, si ∑n=1∞|an| es convergente.

11. Criterio de la raíz.- Si an>0 y limn→∞ann=L entonces ∙ Si L<1, la serie ∑n=1∞an es convergente ∙ Si L>1, la serie ∑n=1∞an es divergente ∙ Si L=1, es un caso dudoso; sabremos que la serie ∑n=1∞an es divergente si ann>1 para infinitos valores de n.

12. Criterio de comparación por paso al límite.- Si an>0 y bn>0 y L=limn→∞anbn, ∙ Si L≠0 y L≠∞ las dos series ∑n=1∞an y ∑n=1∞bn tienen el mismo carácter. ∙ Si L=0 y ∑n=1∞bn converge, entonces ∑n=1∞an también converge. Dada una serie de términos positivos, para analizar el carácter de una serie con estos criterios de comparación debemos utilizar otra serie de la que sepamos su carácter. Uno de los tipos de series que se usan con frecuencia para este fin son las series armónicas generalizadas, ∑n=1∞1np que son convergentes para p>1 y divergentes para p≤1.