Теория вероятностей. Теория вероятности изучает закономерности,которые присуще массовым случайн...

1. Следствие 1. Сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1.

2. Формула суммы и произведения.

2.1. Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

2.2. Сумма совместных и несовместных событий

2.2.1. Совместные события.

2.2.1.1. Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.

2.2.2. Вероятность суммы совместных событий А и В,есть сумма этих вероятностей мину вероятность их произведения. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (1)

2.2.3. Несовместные события.

2.2.3.1. Вероятность появления одно из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (2)

2.2.3.1.1. Формула 1 частный случай формулы 2. Т.к. если А и В несовместные события,то А×В невозможное событие ,а вероятность невозможного события =0

2.2.3.2. Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков.

2.3. Произведение зависимых и независимых событий.

2.3.1. Зависимые события. Событие В зависит от события А,если событие В изменится в зависимости наступления А.

2.3.1.1. Теорема. Вероятность независимых событий А и В,есть произведение вероятности этих событий. Р(АВ)=Р(А)×Р(В)

2.3.2. Независимые события. Событие В не зависит от события А, если вероятность наступления события В не изменится вне зависимости от того наскпит А или нет.

2.3.3. Условная вероятность. Пусть произошли события А и В последовательно. Вероятность события В в предложении,что событие А произошло называется условной вероятностью события В.

2.3.3.1. Вероятность произведение зависимых событий,есть произведение вероятности первого события на условную вероятность второго. Р(АВ)=Р(А)×Ра(В)

3. Классическое определение вероятности. Классическая вероятность события А-есть отношение числа благоприятсвущих исходом по всем равновозможным, не элементарных исходов образующих полную группу. P(A)=m÷n

3.1. Геометрическая вероятность. Геометрической вероятность события А называется отношение меры области благоприятсвущих событий А к мере всей области. Р(А)=mes g÷mes G

4. Комбинаторика. Раздел математики изучающий в частности, методы решения комбинаторных задач.

4.1. Формула перестановки. Пусть имеется n различных объектов. Будем перестанавоивать их всеми возможными способами. Получившиеся комбинации называют перестановкой,а их число равно Рn=n!=1×2×3...×(n-1)×n

4.1.1. Пример. Из n=3 объектов различных фигур на картинке. Согласно формуле, их должно быть равно Рз=3!=1×2×3=6

4.2. Формула размещения. Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять их всеми возможными способами между собой. Аmn=n!÷(n-m)!=n×(n-1)×...×(n-m+1)

4.2.1. Пример. Из n=3 объектов различных фигур по m=2. Согласно формуле А 2 3=3×(3-2+1)=3×2=6

4.3. Формула сочетания. Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать все возможными способами. Сmn=n!÷(n-m)!×m!

4.3.1. Пример. Из n=3 объектов по m=2 согласно формуле С23=3!÷(3-2)!×2!=3

5. Случайные величины. Некоторая величина,которая меняется от опыта к опыту принимая одно возможное значение из множества всех значений.

5.1. Дискретная случайная величина. Случайная величина которая принимает отдельные,изолированные возможные значения с определенными вероятности.

5.1.1. Характристики: Мода Медиана Математическое ожидание Дисперсия Среднее квадратическое отклонение

5.1.2. Виды дискретных случайных величин.

5.1.2.1. Биноминальное распределение. Распределение количества "успехов" в последовательности из независимых случайных экспериментов,таких,что вероятность "успеха" в каждом из них постоянна и равна.

5.1.2.2. Распределение Пуассона. Распределение дискретного типа случайной величины,представляющих собой число событий, произошедших за фиксированное время,при условии,что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

5.1.2.3. Геометрическое распределение. Распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого "успеха".

5.1.2.4. Гипергеометрическое распределение. Описывает вероятность того,что в выборке из n различных объектов,вытянутых из поставки, ровно k объектов являются бракованными.

5.1.3. Например, - количество мальчиков, родившихся в каком-либо месяце; - количество рецептов, поступивших в аптеку в течение дня; - число ударов пульса больного в минуту; - количество осложнений после операций в данной больнице

5.2. Непрерывная случайная величина. Случайную величину называют непрерывной,если множество ее значений-это некоторый числовой промежуток или несколько промежутков.

5.2.1. Примеры случайных величин: - количество студентов на лекции; - количество больных в городе; - число родившихся в течение суток в г. Кемерово; - продолжительность человеческой жизни.

5.3. Закон распределения случайной величины. Законом распределения случайной величины называется,в заданой в произвольной форме соответствия между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

5.3.1. Закон распределения случайной величины можно задать в виде:

5.3.1.1. Таблицы.

5.3.1.2. Аналитически (функция распределения).

5.3.1.3. Графически ( многоугольник распределения).

5.4. Непрерывная случайная величина. Функция распределения функции определяющая вероятность того, что случайная величина х в результате испытания примет значение, меньше х,т.е. интегральная функция.

5.4.1. Следствие 1. Вероятность того,что случайная величина примет значение,занимаемые в интервале а,b равна превращению функции распределения на этом интервале.

5.4.2. Следствие 2. Вероятность того,что непрерывная случайная величина x примет одно определенное значение равна 0.

5.4.3. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b),то f(x)=0; x<a f(x)=1, x >b

5.4.4. Теорема. Вероятность того,что непрерывная случайная величина примет значение,принадлежащее интервалу (а,b) равна определенному интервалу от плотности распределения взятом в пределах от а до 3.

5.4.5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Математическое ожидание Плотность распределения Мода Медиана Дисперсия

5.4.6. Виды непрерывных случайных величин.

5.4.6.1. Равномерное распределение. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х,если на интервале (а,b),которому принадлежат все возможные значения х,плотность сохраняет постоянное значение.

5.4.6.2. Нормальное распределение. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х,попросит которой имеет вид f(x)=1/σ√2π[exp(−(x−μ)22σ2)]

5.4.6.3. Показательные распределение. Позволяет моделизировать интервалу времени между наступлением событий.

6. Случайное событие. Это событие которое в условиях данного опыта может произойти,а может и не произойти.

6.1. Событие А и В называется совместынми,если в условиях данного опыта могут произойти одновременно.

6.2. Событие А и В называются несовместными, если в условиях данного опыта не могу произойти одновременно.

6.3. Событие называется достоверным,если оно наступает.

6.4. Событие называется невозможным,если в условиях данного опыта оно не наступает.

7. Предельные теоремы теории вероятностей.

7.1. Формула полной вероятности. Вероятность события А,которое может наступить лишь при появлении однго из несовместных событий В1,В2...Вn, образующих полную группу,равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую основную вероятность события А: Р(А)=Р(В1)×Р(А)+Р(В2)×РВ3(А)+...+Р(Вn)×РВn(A)

7.1.1. Формула Байеса. Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,...Вn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло,то вероятности гипотез могут быть переоценена по формулам Байеса. Ра(Вj)=P(Bj)×Pbj(A)÷P(A)

7.2. Формула Пуассона. При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0.97999 вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона.

7.3. Локальная и интегральная формула Муавра-Лапласа

7.3.1. Локальная теорема. Если вероятность Р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р m,n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях,при достаточно большом числе n, приближенно равна Pm,n=f(x)÷√npq

7.3.1.1. Пример. В каждом из 700 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найдите вероятность того, что событие A происходит: ровно 270 раз; Решение. √npq=√700*0.35*065=12.6 x= 270-700*0.35/12.6=25/12.6=1.98

7.3.2. Интегральная теорема. Если вероятность P наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того,что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b ,при достаточно большом числе приблизительно равна Pn(a<m<b)=1/2[Ф(х2)-Ф(х1)]

7.3.2.1. Пример.Задано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270. Найдем P700(230 < k < 270). Используем интегральную теорему Лапласа (23), (24). Находим: х1=230-700-0,35/12,6=1,19 х2=270-700*0,35/12,6=1,98

7.3.2.2. Под значением больших чисел в узком смысле понимается общий принцип,согласно которому по формулировке академика Колмогорова совокупное действие больших чисел случайных факторов приводит к результату ,почти не зависимости от случайных.

7.4. Закон больших чисел.

7.4.1. Неравенство Чебышева. Вероятность того,что отношение случайной величины x от ее математического ожидания по абсолютной величине, меньше положительного числа E ,не меньше чем 1-D(x)E^2.

7.4.2. Теорема Чебышева утверждает,что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограничения диспепсии,то почти достоверным можно считать событие состоящие в том,что отклонение среднего арифметического случайной величины от среднего арифметического их математического ожидания, будет по абсолютной величина сколько угодно мал.

7.4.2.1. По законом больших числе в Широком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым опреленным постоянным.

7.4.3. Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаниях вероятность Р появления события А постоянно,то как угодно близка к 1,вероятность того,что отношение относительной частоты от вероятности Р, по абсолютной величине,будет сколько угодно малым,если число испытаний достаточно велико.

8. Математическая статистика. раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений.

8.1. Основные понятия математической статистики.

8.1.1. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

8.1.1.1. Пример;Цель исследования: изучить здоровье современных студентов ИвГМА. Выборочной совокупностью могут являться, предположим, 180 студентов, обучающихся ИвГМА в данном году (n=180).

8.1.2. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

8.1.2.1. Пример.

8.1.2.1.1. Цель исследования: изучить здоровье современных студентов ИвГМА. Тогда: Генеральной совокупностью будут являться все до единого студенты ИвГМА, обучающиеся в данном году. Объем совокупности составит, предположим, две тысяч человек (N=2000).

8.1.3. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

8.1.3.1. Пример.

8.1.3.1.1. Если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n =100.

8.2. Дисперсионный анализ.– Статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную.

8.2.1. - общей (дисперсия комплекса);измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

8.2.2. - межгрупповой (факторная);характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки.

8.2.3. внутригрупповой (остаточная) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки: