1. Metrische Räume
1.1. Folge beschränkt
1.1.1. ∃x∊X, r>0: xn ∊ B(r,x)
1.2. Teilmenge beschränkt
1.2.1. ∃x∊X, r>0: A ⊂ B(r,x)
1.3. f Isometrie (isom. Isomorphismus)
1.3.1. dy(f(x), f(y)) = dx(x,y) (falls f bij.)
1.4. folgenkompakt
1.4.1. (überdeckungs)kompakt
1.4.1.1. präkompakt und vollständig
1.4.2. jede Folge hat konv. Teilfolge
1.5. präkompakt/totalbeschränkt
1.5.1. ∀ ℇ>0 ∃N und xi∊X: X=⋃B(ℇ,xi)
1.5.2. Neue Idee
1.6. kompakt
1.6.1. beschränkt
1.6.2. abgeschlossen
1.6.3. separabel
1.6.4. + f stetig
1.6.4.1. ⇒ f glm. stetig
1.6.4.1.1. Beweis: durch Widerspruch: ∃ ℇ>0 & an,bn∊X: d(an,bn)<1/n und d(f(an),f(bn))≥ℇ. X kompakt ⇒ konv. Teilfolge: an→a mit △-Ungl. ⇒ bn→a. Da f stetig: d(a,x)<∂ ⇒ d(f(a),f(x))<ℇ/2. Wähle n: an,bn∊B(∂,a) ⇒mit △Ungl. d(f(an),f(bn))<ℇ
1.7. f gleichmässig stetig
1.7.1. ∀ℇ>0 ∃∂>0 ∀x,y∊X: dx(x,y)<∂ ⇒ dy(f(x),f(y))<ℇ
1.7.2. + (xn)n CF ⇒ (f(xn))n Cauchyfolge
1.7.2.1. Beweis: durch Definition
1.7.3. + f: Z→Y, Z⊂X dicht, Y vollst. ⇒ ∃ eind. stetige Fortsetzung g:X→Y glm. stetig
1.7.3.1. Beweis: Existenz: xn→x CF, setze g(x)=limf(xn). g wohldef. denn für xn→x & yn→x CF ist auch zn= x(n/2) bzw. y((n+1)/2) CF ⇒ g Forts. Glm. Stetigkeit: d(a,b)<3∂ ⇒ d(f(a),f(b))<ℇ/3 in Z. Sei x,y∊X und xn→x, yn→y CF. Für d(x,y)<∂: d(g(x),g(y))≤d(g(x),f(xn)) + d(f(xn),f(yn)) + d(f(yn),g(y)) & ⇒ d(xn,yn)<3∂ ⇒ d(f(xn),f(yn))<ℇ/3 Eind.: g(x)=lim g(xn) = lim f(xn) = lim h(xn) = h(x)
1.8. f (glm.) gleichgradig stetig
1.8.1. ∀x∊X ∀ℇ>0 ∃∂>0 ∀i∊I ∀ (x,)y∊X: d(x,y)<∂ ⇒ D(f(xi),f(yi))<ℇ
1.9. Arzela Ascoli
1.9.1. X komp. (fn) Folge glgr. stetiger, glm. beschr. Fkt.en ⇒ ∃ Teilfolge, f stetig : fn ⇉ f
1.9.1.1. Beweis: mit Diagonalfolgenargument erhalte Teilfolge die auf dichten Teilmenge konv. Mit glgr. Stetigkeit folgt Konvergenz überall. Betrachte Konvergenz einer genügend großen endl. Menge und nutze glgr. Stetigkeit um glm. Stetigkeit nachzuweisen.
1.10. Cauchyfolge
1.10.1. ∀ℇ>0 ∃N ∀ m,n ≥N: d(xn,xm)<ℇ
1.11. X vollständig
1.11.1. Bairescher Kategoriesatz
1.11.1.1. A⊂X 1.Kat. ⇒ X\A dicht in X und X von 2. Kat.
1.11.1.2. Korollar: An⊂X dicht und offen ⇒ abzählb. UAn dicht
1.11.1.2.1. Beweis: Ang. nicht, dann ∃ r>0, x∊X: B(r,x)⊂ X\∩An ⇒ X\An ∩ B(r,x) =Cn sind abg. und Ċn = ø ⇒ mit B(r,x) = UCn
1.11.2. jede CF konvergiert in X
1.12. Vervollständigung
1.13. A nirgends dicht
1.13.1. Ā° = ø
1.14. A mager (1. Kat.)
1.14.1. abzählbare Vereinigung von nirgends dichten Mengen
1.15. A fett (2. Kat.)
1.15.1. nicht von 1. Kategorie
1.16. Topologie auf X
1.16.1. O:= {A⊂X: ∀x∊A ∃ ℇ>0: B(ℇ,x)⊂A} wobei B(ℇ,x)={y∊X:d(x,y)<ℇ}
1.17. Metriken äquiv.
1.17.1. falls sie gleiche O induzieren
2. Topologische Räume
2.1. Topologie O auf X
2.1.1. X,∅, bel.∪ und endl.∩ ∊ O
2.2. Umgebung
2.2.1. von x
2.2.1.1. U Umg von x wenn ∃V∊O : x∊V⊂U
2.2.2. von A
2.2.2.1. Umg. ∀ x∊A
2.3. Berührpunkt x von A
2.3.1. jede U∩A≠∅
2.4. Abschluss
2.4.1. Menge der Berührpunkte
2.4.2. (überdeckungs-) kompakt
2.4.2.1. jede offene Überdeckung von X hat endl. Teilüberdeckung
2.4.2.2. + f stetig
2.4.2.2.1. ⇒ f(X) überdeckungskompakt
2.5. innerer Punkt
2.5.1. falls A Umg. von x
2.5.2. Innere von A: int(A)=Å
2.6. Randpunkt
2.6.1. Berührpunkt von A und X\A
2.7. A offen/abgeschlossen
2.7.1. A ∊O bzw. X\A ∊O
2.8. A dicht in X
2.8.1. Abschluss von A=X
2.9. X separabel
2.9.1. ∃ höchstens abzählbare Teilmenge, die dicht ist in X
2.10. Basis
2.10.1. Umgebungsbasis
2.10.1.1. Familie Ũ : ∀ U⊂Ũ Umg. von x & ∀ Umg. V ∃ U⊂V
2.10.2. der Topologie
2.10.2.1. jedes ∊O als Vereinigung von ∊ aus B
2.11. O gröber/feiner
2.11.1. O1 ⊂ O2 bzw. O1⊃O2
2.12. relativ kompakt
2.12.1. Abschluss von A ist kompakt
2.13. metrisierbar
2.13.1. ∃ Metrik d auf X, die vorgeg. Topologie induziert
2.14. Hausdorffraum
2.14.1. je 2 versch. Pkt. besitzen disj. Umg.
2.15. X normal
2.15.1. X Hausdorffraum & disj. abg. Mengen besitzen disj. Umg.
2.16. Häufungspunkt
2.16.1. in jeder Umg. von x unendl. viele Folgenglieder
2.17. Grenzwert
2.17.1. außerhalb jeder Umg. nur endl. viele Folgenglieder
2.18. f stetig
2.18.1. ∀ offenen Mengen U⊂Y: f^(-1)(U)⊂X offen
2.19. f offen
2.19.1. U⊂X offen ⇒ f(U)⊂Y offen
2.20. Homöomorphismus
2.20.1. f bij. und f, f^(-1 stetig)
2.21. stetig in x
2.21.1. ∀ Umg. V von f(x) ∃ Umg. U von x: f(U)⊂V
3. Normierte Räume
3.1. Norm
3.1.1. Norm ist stetig
3.1.1.1. Beweis: Umgekehrte ∆-Ungl. | ||xn||-||x|| | ≤ ||xn-x||
3.2. Quotientenraum X/M
3.2.1. Norm: dist(x,M)= inf ||x-y||
3.2.2. vollständig
3.3. lineare Abbildung T
3.3.1. beschränkt
3.3.1.1. stetig
3.3.1.1.1. im Ursprung stetig
3.3.1.2. ∃c≥0: ||Tv|| ≤ c||v||
3.3.2. Operatornorm
3.3.2.1. ||T|| = sup ||Tv|| , ||v||≤1
3.3.3. L(V,W)
3.3.3.1. Raum der stetigen linearen Abbildungen wird mit Operatornorm zu norm. Raum
3.3.3.2. W Banachraum so auch L(V,W)
3.3.3.3. Dualraum, duale Norm
3.3.4. normtreuer Isomorphismus
3.3.4.1. falls T & T^(-1) stetig, bij. und ||Tx||=||x||
3.3.5. Fortsetzungssatz
3.4. multilineare Abbildung A
3.4.1. stetig
3.4.1.1. ⇔ ∃c>0: ||A(x1,...,xn)|| ≤ c ||x1||∙∙∙||xn||
3.4.2. Norm
3.4.2.1. ||A|| = sup || A(x1,...xn)||
3.5. Satz von Hahn−Banach
3.5.1. mit konvexer Funktion
3.5.1.1. E norm R-V.R., W⊂E Unterraum v:W→R linear, p:E→R konvex & v≤p auf W ⇒ ∃ Fortsetzung ṽ:E→R
3.5.1.1.1. Beweis: Skript
3.5.2. klassisch
3.5.2.1. E norm V.R., W⊂E Unterraum v∊W* ⇒ ∃ normerhaltende Fortsetzung ṽ∊E* mit ||v||=||ṽ||
3.6. Trennungssatz
3.6.1. M⊂X abg. & konvex, y∊X\M ⇒ ∃ v∊X* & a∊R: Re v(x) ≤ a für x∊M & Re v(y) > a
3.7. Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit
3.7.1. E Banachraum, F norm. Raum, (Ai)i Fam. in L(E,F) pktw. beschr. d.h. ∀ x∊E ∃ c(x)>0: sup ||Aix|| ≤ c(x) ⇒ Fam. glm. beschr. : sup ||Ai|| ≤ c
3.8. Satz von Banach-Steinhaus
3.8.1. E Banachraum, F norm. Raum, (Ai)i Fam. in L(E,F) pktw. beschr. ⇒ (Ai)i gm. stetig und sogar glm. gleichgradig stetig
3.8.1.1. Beweis: mit Prinzip der glm. Beschränktheit: ∃ c>0: ||Ai|| ≤ c ⇒ ||Aix - Aiy|| = ||Ai (x-y)|| ≤ ||Ai|| ||x-y|| ≤ c ||x-y|| ≤ c ∂ ⇒ wähle ∂= ℇ/2c
3.8.2. Prop: E Banachraum, F norm. Raum, (An)n ⊂ L(E,F), A:E→F und Anx→Ax pktw. ⇒ A∊ L(E,F) und ||A|| ≤ lim inf ||An|| <∞
3.9. Banachraum
3.9.1. Satz von der offenen Abbildung
3.9.1.1. E,F Banachräume, A∊L(E,F) surj. ⇒ A offen
3.9.1.2. Lemma: X Banachraum, Y norm. Raum, T:X→Y Isomorphismus ⇒ Y Banachrauum
3.9.2. Satz von der inversen Abbildung
3.9.2.1. E,F Banachräume, A∊L(E,F) bij. ⇒ A Homöomorphismus
3.9.2.2. Korollar: X, Y Banachräume, ||z||x ≤ c ||z||y ⇒ ||∙||x und ||∙||y sind äquivalent
3.9.3. Stetigkeit der Inversen
3.9.3.1. X,Y Banachräume, T:D(T)→Y abg., T surj. ⇒ T offen und T bij. ⇒ T^(-1):Y→D(T) stetig
3.9.4. Satz vom abgeschlossenem Graphen
3.9.4.1. E,F Banachräume, A:E→F linear ⇒ (A stetig ⇔ graph(A)⊂ExF abg.)
3.9.5. reflexiv
3.9.5.1. falls Isometrie J: X → X** surj.
3.9.5.2. ⇒ vollständig, da X* vollständig
3.9.5.3. ⇒ schwache = schwach* Konv. in X*
3.9.5.4. ⇒ jeder abg. Unterraum reflexiv
3.9.5.5. T: X → Y Isomorphismus ⇒ (X reflexiv ⇔ Y reflexiv)
3.9.5.6. ⇔ X* reflexiv
3.9.5.7. Theorem: X reflexiver Banachraum, M⊂X konvex, abg. ⇒ zu y∊X ∃ x∊M : ||x-y|| = dist(y,M)
3.9.6. separabel
3.9.6.1. falls X* separabel
3.9.7. Hölderraum
3.10. Graph von T
3.10.1. T abgeschlossen
3.10.1.1. falls G(T) ⊂ X⨁Y abg.
3.10.1.2. ⇔ (∀ xn ∊ D(T) mit xn→x und Txn→y ⇒ x ∊D(T) und Tx=y)
3.10.1.3. falls T ∊ L(X,Y)
3.10.1.4. ⇔ (D(T),||∙||T) Banachraum
3.10.2. T abschliessbar
3.10.2.1. ∃ T° mit G(T°) = (G(T))°
3.10.3. Graphennorm
3.10.3.1. ||x||T = ||x||X + ||Tx||Y
3.10.3.2. Lemma: X,Y Banachräume, D(T)⊂X, T: D(T)→Y abg. ⇒ ( ∃c>0: ||Tx|| ≥ c ||x|| ∀x∊D(T)) ⇔ (T inj. und R(T)=im(T) abg.)
3.10.4. G(T)= {(x,Tx): x∊D(T)}
3.11. schwache Konvergenz
3.11.1. xn⇀x in E, falls ∀ µ∊E*: µ(xn) → µ(x)
3.11.2. Konvergenz bzgl. schwachen Topologie, erzeigt durch stetige Funktionale f∊L(E,K)
3.11.3. endl.dim. V.R. ⇒ ( schwache Konv. ⇔ starke Konv.)
3.11.4. xn⇀x in X ⇔ J(xn) → J(x) schwach* in X** wobei J: X→X** def. durch <µ,J(x)> = <x,µ> Isometrie (Einbettung in Bidualraum
3.11.5. ⇒ ||x|| ≤ lim inf ||xn||
3.11.6. ⇒ beschränkt
3.11.7. xn ⇀ x und µn→µ stark ⇒ <xn,µn> → <x,µ>
3.11.8. ⇔ sup ||xn|| < ∞ und ∃ D⊂X* dicht mit <xn,µ> → <x,µ> ∀ µ∊D
3.12. schwach*-Konvergenz
3.12.1. auf X*: µn → µ schwach*, falls µn(x) → µ(x) ∀x∊X
3.12.2. ⇒ ||µ|| ≤ lim inf ||µn||
3.12.3. ⇒ beschränkt
3.12.4. µn → µ schwach* in X* und xn→ x in X ⇒ <xn,µn> → <x,µ>
3.13. Lemma von Mazur
3.13.1. xn⇀x in norm. Raum ⇒ x liegt im Abschluss der konvexen Hülle von {xn}
3.14. hölderstetig in y mit Exp. a
3.14.1. falls: lim sup sup |f(x) - f(y)| / |x - y|ª < ∞
3.15. Hölderraum
3.15.1. Hölderhalbnorm
3.15.1.1. [ f ] Cª(Ω) = sup |f(x) - f(y)| / |x - y|ª
3.15.2. Cª(Ω) = {f:Ω→R: sup |f(x) - f(y)| / |x - y|ª} < ∞}
3.15.3. C(k,a)(Ω) = { f ∊ C(k)(Ω) : [ D(b)f ]Cª(Ω) < ∞ ∀ |b|≤ k }
3.15.4. Höldernorm
3.15.4.1. ||f||C(k,a)(Ω) = ||f||C(k)(Ω) + ∑ [D(b)f]Cª(Ω)
3.15.4.1.1. ||f||C(k)(Ω) = ∑ sup |D(b)f|
3.16. Äuqiv. von Normen
3.17. Auf Rn je zwei Normen äquiv.
3.18. Äquvalenz von Normen
3.18.1. ∃ c>0: 1/c||x|| ≤ ||x||' ≤ c||x||
3.18.2. Auf Rn sind je 2Normen äqu.
3.18.2.1. Beweis:1. ||x|| ≤ ∑ |xi| ||ei|| ≤ ∑ ||ei|| ∙ sup |xi| 2. Ang. ∄ c: c∙||x||∞ ≤ ||x||, dann ∃ folge (xk) mit ||xk||=1 und ||xk||>k. Def. yk= xk/||xk||∞ beschränkt => Teilfolge konv. und erhalte ||yk - y||∞ -> 0 und nach 1. auch in ||∙|| => y=0 => 1=||yk|| -> 0 Widerspruch
3.19. E norm. Raum E* Dualraum ⇒ ||x|| = sup |<x,v>| , v∊E*, ||v||=1 (das Sup wird angenommen)
3.20. Theorem zu Lemma von Mazur
3.20.1. X norm. Raum, M⊂X konvex & abg. ⇒ M schwach folgenabg., d.h. xn∊M, x∊X und xn⇀x ⇒ x∊M
4. Skalarproduktraum
4.1. Hilbertraum
4.1.1. Hilbertraumisomorphismus / unitär
4.1.1.1. surj. Isometrie U∊L(H1,H2)
4.1.2. direkte Summe
4.1.3. Projektion auf konvexe Teilmengen
4.1.3.1. Konvexität
4.1.3.1.1. V K-V.R., K⊂V konvex, falls: ∀ x,y∊K ∀ t∊[0,1]: tx + (1-t)y ∊K
4.1.3.2. K⊂H abg. & konvex, a∊H ⇒ ∃ b∊K: ||a-b|| ≤ ||a-x||
4.1.3.2.1. Beweis: dirkete Methode der Var.rechn.: Œ a=0, (xn)n ⊂K Minimalfolge & für x↦||x|| : lim ||xn|| = inf ||x|| = d. Zeige dass (xn) CF mit Parallelogrammgl. K abg. ⇒ vollst. d.h. ∃ b = lim xn ∊K, da Norm stetig ⇒ ||b|| = d. Da jede Minimalfolge CF folgt Eindeutigkeit.
4.1.3.2.2. Lemma: K⊂H abg. & konvex, π: H→K, x↦p wobei ||x-p|| = inf ||x-q||, q∊K ⇒ π stetig
4.1.4. Satz von Riesz
4.1.4.1. T∊X* ⇒ ∃! xT ∊X: Tx = <x,xT> ∀ x∊X und ||T|| = ||xT||, I:X*→X T↦xT ist bij., isom., konj. linear
4.1.4.1.1. Beweis: Skript
4.1.5. Satz von Hellinger-Toeplitz
4.1.5.1. T:X→X linearer Operator, <Tx,y> = <x,Ty> ⇒ T stetig
4.1.6. orthogonale Komplement
4.1.6.1. ist abg. Unterraum von H
4.1.7. xn → x ⇔ ||xn|| → ||x|| und xn ⇀ x
4.2. Skalarprodukt und ind. Norm
4.2.1. ||u|| = √<u,u>
4.3. Cauchy-Schwarz Ungl.
4.3.1. |<u,v>| ≤ ||u|| ||v||
4.4. Parallelogrammgleichung
4.4.1. ||u+v||^2 + ||u-v||^2 = 2||u||^2 + 2||v||^2
4.5. Polariationsformel
4.5.1. in R
4.5.1.1. <x,y> = 1/4||x+y||^2 - 1/4||x-y||^2
4.5.2. in C
4.5.2.1. <x,y> = 1/4 ( ||x+y||^2 - ||x-y||^2 +i ||x+iy||^2 - i ||x-iy||^2)
4.6. v,w orthogonal
4.6.1. <u,v>=0
4.7. Familie (vi)i orthonormal
4.7.1. <ui,uj> = ∂ij
4.7.2. Besselsche Ungl.
4.7.2.1. ||v||^2 ≥ ∑ |<v,vi>|^2
4.7.3. Pythagoras
4.7.3.1. ||v||^2 = ∑ |<v,vi>|^2 + ||v - ∑ <v,vi> vi ||^2
4.8. orthogonale Komplement
4.8.1. U⊥= {v∊H: <u,v> = 0 ∀u∊U}
4.9. Isometrie U∊L(U1,U2)
4.9.1. <Ux,Uy> = <x,y>, ∀x,y∊H1
5. Sobolevräume
5.1. schwache Ableitung v= Dªu
5.1.1. ∫ u Dªµ = (-1)ª ∫ Dª u
5.2. Lemma du Bois-Reymond
5.2.1. f∊L1loc(Ω), ∫ fµ = 0 ⇒ f=0 f.ü und f=0 in L1loc(Ω)
5.2.1.1. Beweis:
5.3. Eindeutigkeit der schwachen Ableitung
5.3.1. Beweis: folgt aus Lemma du Bois-Reymond
5.4. Sobolevraum W(k,p)
5.4.1. W(k,p) = {u ∊ L1loc(Ω): Dªu ∊ Lp(Ω) im schw. Sinne ∀ |a| ≤ k}
5.4.2. W(k,2)=H(k) und H(0)=L2 sind Hilberträume
5.4.3. u=v in W(k,p), falls u=v in L1loc(Ω) d.h. f.ü.
5.4.4. ||u||W(k,p)(Ω) = ( ∑ ∫ |Dªu|^p )^(1/p) , 1≤ p < ∞
5.4.5. ||u||W(k,∞)(Ω) = ∑ sup |Dªu| , |a| ≤ k
5.4.6. u ∊ W(k,p)loc (Ω), falls u ∊ W(k,p)(Ω') ∀ Ω' ⊂⊂Ω
5.5. Eigenschaften schwacher Abl.
5.6. Sobolevraum ist Banachraum
5.7. Lokale Approx. durch glatte Fkt.en
5.7.1. Friedrichsche Glättungsfkt.
5.8. Globale Approx. durch glatte Fkt.en
5.8.1. Zerlegung der 1
5.9. Globale Approximierbarkeit in C∞
5.10. Fortsetzungssatz
6. Lp-Räume
6.1. Höldersche Ungl.
6.1.1. || f g ||1 ≤ ||f||p ∙ ||g||q = ∫|f∙g|dµ ≤ ( ∫f|p dµ )1/p ∙( ∫|g|q dµ )1/q , 1<p<∞ über Ω Maßraum
6.1.1.1. Beweis: Setze |f|/||f||p und |g|/||g||q dann nutze Youngsche Ungl. und mit Konvexität der exp-Fkt. und ∫Ungl. folgt Beh.
6.2. Minkowski Ungl.
6.2.1. ∫|f+g|dµ ≤ ( ∫f|p dµ )1/p +( ∫|g|q dµ )1/q ,
6.2.1.1. Beweis: Nutze Konvexität von t^p und Jensensche Ungl., dann Hölderungl. auf ||f+g||Lp^p und p+q=pq
6.2.2. Rn mit lp Norm Banachraum
6.2.2.1. Beweis: vollst.: xi=(xik)k CF |xik - xjk| ≤ || xi - xj|| sind auch die k-ten Komp. CF. Setze x=(xk)k mit xk=lim xik ⇒ ||xi-x||→0
6.3. lp ist Banachraum
6.3.1. Beweis: ähnlich wie oben ↗ Setze j→∞ sodass: ( ∑ |xik - xk| )^(1/p) ≤ f(i) = 2^(-k). Wähle i>>1 : f(i)≤ℇ ⇒ ||xi - x|| ≤ℇ