1. Beweis
1.1. Frey-Kurve ist semistabil
1.1.1. Für welche p?
1.2. Frey-Kurve kann nicht modular sein
1.2.1. Für welche p?
1.3. Semistabile Kurven sind modular
1.3.1. Modularitätssatz in gewisser Form
1.3.1.1. L-Funktion jeder semistabilen elliptischen Kurve ist modulare Form
1.3.1.2. Elliptische Kurven und Modulformen können repräsentiert werden mit Galois-Repräsentationen
1.3.1.2.1. Eindeutig?
1.3.1.2.2. Äquivalente Aussage: Jede gewisse elliptische Kurve hat als Repräsentation die einer Modulform. Zeige also, dass jede gewisse Galois-Repräsentation von gewisser modularer Form induziert werden kann.
2. Implikationen
3. Wichtiges
3.1. Objekte
3.1.1. Algebraische Kurve
3.1.1.1. Algebraische Kurve – Wikipedia
3.1.1.2. Genus
3.1.1.2.1. Genus (mathematics) - Wikipedia
3.1.1.3. Elliptische Kurven
3.1.1.3.1. Elliptische Kurve – Wikipedia
3.1.1.3.2. Haben immer Genus 1
3.1.1.3.3. über C
3.1.1.3.4. über Q
3.1.1.3.5. über F_n
3.1.1.3.6. Immer isomorph zu einfacher affiner Gleichung, dann genau dann glatt, wenn Diskriminante nicht 0, also alle Nullstellen des einfach Polynoms in x verschieden.
3.1.1.3.7. Haben affine und projektive Gleichung
3.1.1.4. Modulkurven
3.1.1.4.1. Modular curve - Wikipedia
3.1.1.4.2. Quotient von Kongruenzgruppe und H
3.1.1.4.3. Classical modular curve
3.1.2. Galoisgruppen
3.1.2.1. Galoisgruppe – Wikipedia
3.1.3. Galois-Repräsentation
3.1.4. Modulformen
3.1.4.1. Modulform – Wikipedia
3.1.4.2. Spezialfall k = 0: Modulfunktion
3.1.4.2.1. Holomorphie beschränkt auf konstante Funktionen wegen Symmetrie am Einheitskreis
3.1.4.3. Spezialfall: Spitzenform
3.1.4.3.1. Spitzenform – Wikipedia
3.1.4.3.2. erster Koeffizient der q-Reihe 0
3.1.4.4. Periode 1, also ex. Fourier-Transformation, sodass "holomorph im Unendlichen" Sinn ergibt. Das ist nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz äquivalent zur Beschränktheit bei i unendlich
3.1.4.4.1. Anhand der q-Reihen kann man aber kaum die andere Modularitätsbedingung überprüfen.
3.1.4.5. Natürliche Entsprechung zwischen Taylor- und Fourierreihe
3.1.4.6. Beachte: mero- vs. holomorph
3.1.4.7. k ungerade: nur Nullfunktion
3.1.4.8. k größer 2: Beispiel Eisensteinreihe (und Vielfache) über Variation des Gitters im zweiten Basisvektor
3.1.5. Modulgruppe
3.1.5.1. Modular group - Wikipedia
3.1.5.2. Von zwei Elementen generiert.
3.1.5.3. Gibt Symmetrien für die Modulformen, die aber von festen Matrizen auf ihr Produkt und Inverse übertragen werden, also gibt es nur zwei Bedingungen.
3.1.5.4. Operiert auf C mit Möbiustransforrmationen
3.1.5.5. Kongruenzuntergruppe
3.1.5.5.1. Congruence subgroup - Wikipedia
3.1.6. Elliptische Funktion
3.1.6.1. Elliptische Funktion – Wikipedia
3.1.6.2. Parallelogramm determiniert die Funktion komplett, dieses ist Faktorgruppe von C nach entsprechendem Gitter, genauso wie Torus
3.1.7. Gitter
3.1.7.1. Lattice (group) - Wikipedia
3.1.7.2. Gleiche Gitter der Form Z+aZ = Z+bZ haben, dass a in b durch spezielle Möbiustransformation überführt wird.
3.1.7.2.1. Beweis?
3.1.8. Torsionsgruppe
3.1.8.1. Torsion (Algebra) – Wikipedia
3.1.9. Spezielle Funktionen
3.1.9.1. Eisensteinreihe
3.1.9.1.1. Eisensteinreihe – Wikipedia
3.1.9.1.2. Bildet Taylorkoeffizienten von p-Funktion (selbes Gitter)
3.1.9.2. Weierstraßsche p-Funktion
3.1.9.2.1. Weierstraßsche ℘-Funktion – Wikipedia
3.1.9.2.2. Weierstraß-p – Wikipedia
3.1.9.2.3. Parametrisiert jede elliptische Kurve durch entsprechende Wahl vom Gitter
3.1.9.2.4. Konvergenz?
3.1.9.3. Möbiustransformation
3.1.9.3.1. Möbiustransformation – Wikipedia
3.2. Eigenschaften
3.2.1. Semistabilität
3.2.1.1. Semistable abelian variety - Wikipedia
3.2.2. Modularität
3.2.2.1. Modular elliptic curve - Wikipedia
3.2.3. Meromorphie
3.2.3.1. Meromorphe Funktion – Wikipedia
3.3. Resultate
3.3.1. Satz von Liouville
3.3.2. Riemannscher Hebbarkeitssatz
3.3.2.1. Riemannscher Hebbarkeitssatz – Wikipedia
3.3.3. Modularitätssatz
3.3.3.1. Modularitätssatz – Wikipedia
3.3.3.2. Jede bestimme elliptische Kurve über Q kann parametrisiert werden über eine klassische Modulkurve
3.3.4. Satz von Mordell-Weil – Wikipedia