1. Orto-normales y método de Gram Schmidt
1.1. Orto-normales
1.1.1. una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria.
1.2. Gram Schmidt
1.2.1. es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
2. Espacios con producto interno
2.1. Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
2.1.1. (v, v) ≥ 0
2.1.2. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
2.1.3. (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
2.1.4. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
2.1.5. (u, v) = (v, u)
2.1.6. (αu, v) = α(u, v)
2.1.7. (u, αv) = α(u, v)
3. Transformaciones lineales
3.1. una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal.
4. Longitud, ángulos y ortogonalidad
4.1. podemos usar el teorema de Pitágoras para DEFINIR la longitud de v de la forma
4.1.1. donde v1 y v2 son las coordenadas de v con respecto a la base canónica B0 = (e1, e2). Ver la figura 9.1(a). Obsérvese que, al representar los ejes cartesianos, entendemos que estamos trabajando con la base canónica de R 2 Un vector de longitud 1 se denomina vector unitario
4.1.2. Sean u, v dos vectores de R2 y sea θ ∈ [0, π] el ángulo entre ellos (ver la figura 9.1(b)). Si 0 < θ < π, los vectores u, v y w = v − u forman un triángulo, donde w es el lado opuesto al ángulo θ.
4.2. Producto interno y normal sobre R
4.2.1. Un producto interno o escalar definido sobre V es una aplicación entre el conjunto de todos los pares de vectores (u, v) y R, cuyo resultado es un número real denotado por hu, vi, que satisface las siguientes propiedades para todo u, v, w ∈ V y todo escalar α ∈ R:
4.2.1.1. . hu, vi = hv,ui.
4.2.1.2. α hu, vi = h(αu), vi = hu,(α v)i.
4.2.1.3. hu + v, wi = hu, wi + hv, wi.
4.2.1.4. hu,ui > 0 y hu,ui = 0 si y sólo si u = 0.
4.3. Proposición
4.3.1. Toda norma definida en V a partir de un producto interno verifica las siguientes propiedades: para todo u, v ∈ V y todo α ∈ K, se cumple que
4.3.1.1. kuk > 0 y kuk = 0 ⇐⇒ u = 0 [positividad].
4.3.1.2. kαuk = |α| kuk para todo u ∈ V [homogeneidad].
4.3.1.3. ku + vk 6 kuk + kvk [desigualdad triangular].
5. Aplicaciones de espacios vectoriales
5.1. La estructura de espacio vectorial ha girado en torno a la manera de trabajar en un espacio vectorial usando el concepto de base.
5.1.1. Una vez dado el objeto matemático, el espacio vectorial, el siguiente paso ´ natural es como ‘relacionar’ dos espacios vectoriales. La pregunta natural que ´ surge es la siguiente: Dados dos espacios vectoriales V y V 0 y una aplicación f : V → V 0 entre ellos ¿hay algún tipo de aplicaciones ‘buenas’ respecto de la estructura vectorial que soportan V y V 0 ?
5.1.1.1. La respuesta es si, y a dichas aplicaciones se les llaman aplicaciones lineales. Igual ´ que sucedía con el concepto de subespacio vectorial, no todas las aplicaciones entre espacios vectoriales son lineales, en verdad, ‘muy pocas’ lo son.
6. Construcción de espacios vectoriales
6.1. conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados.
6.1.1. 1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.
6.1.2. 2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).
6.1.3. 3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.
6.1.4. 4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.
6.1.5. 5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.
6.1.6. 6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.
6.1.7. 7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay
6.1.8. 8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.
6.1.9. 9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.
6.1.10. 10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.