1. TEOREMA DE LA COMPLETITUD (HILBERT)
1.1. AXIOMA
1.1.1. LOS ELEMENTOS (PUNTOS, LINEAS, PLANOS) DE LA GEOMETRIA FORMAN UN SISTEMA DE OBJETOS; NO ES POSIBLE AÑADIR AL SISTEMA DE PUNTOS, LINEAS Y PLANOS OTRO SISTEMA DE OBJETOS.
1.1.1.1. ESTABLECE QUE EL SISTEMA DE LOS ELEMENTOS GEOMATRICOS; O MÁS PRECISAMENTE, FIJA UNA CONDICIÓN DE MAXIBILIDAD SOBRE EL CONJUNTO DE LOS OBJETOS GOBERNADOS
2. TEOREMA DE RECURSION
2.1. Si A es un conjunto que contiene por lo menos un elemento a ∈ A y g : A → A es una función de A en sí mismo, entonces existe una única función ϕ : N → A
2.1.1. SATISFACE 2 PROPIEDADES
2.1.1.1. ϕ(0) = a.
2.1.1.2. ϕ ◦ S = g ◦ ϕ.
2.1.1.3. La función ϕ se dice que est´a definida recursivamente a partir de ϕ(0) = a con fómula de recursi´on ϕ(n + 1) = g(ϕ(n)).
3. TESIS DE CHURCH TURING
3.1. SE REFIERE A LA NOCIÓN DE UN METODO EFECTIVO O MÉCANICO EN LÓGICA Y MATEMÁTICAS.
3.1.1. UN MÉTODO, O PROCEDIMIENTO, M PARA LOGRAR ALGUN RESULTADO
3.1.1.1. M
3.1.1.1.1. SE ESTABLECE EN TÉRMINOS DE UN NÚMERO FINITO DE INSTRUCCIONES EXACTAS
3.1.1.1.2. SI SE LLEVA A CABO SIN ERROR, SIEMPRE PRODUCIRÁ EL RESULTADO DESEADO EN UN NÚMERO FINITO DE PASOS
3.1.1.1.3. PUEDE SER POR UN SER HUMANO SIN LA AYUDA DE NINGUNA MAQUINARIA EXCEPTO PAPEL Y LÁPIZ
3.1.1.1.4. NO EXIGE PERSPICACIA NI INGENIO POR PARTE DEL SER HUMANO PARA LLEVARLO A CABO
4. TEORIA DE AUTOMATAS
4.1. ES EL ESTUDIO DE LAS MAQUINAS ABSTRACTAS Y LOS AUTOMATAS
4.2. UN AUTOMATA
4.2.1. ES UN DISPOSITIVO INFORMTICO ABSTRACTO AUTOPROPULSADO QUE SIGUE UNA SECUENCIA PREDETERMINADA DE OPERACIONES AUTOMATICAS
5. TEORIA DE LAS GRAMATICAS
5.1. TRATA DE PROPORCIONAR UN SISTEMA DE PRINCIPIOS, CONDICIOES Y REGLAS QUE SEAN ELEMENTOS O PROPIEDADES DE TODAS LAS LENGUAS NATURALES
5.2. LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE ES UN CAMPO PRINCIPAL EN EL PARADIGMA
6. PIONEROS
6.1. DAVID HILBERT
6.1.1. DEMOSTRO QUE LOS SISTEMAS AXIOMATICOS TENIAS 3 PROPIEDADES QUE LOS CONVIERTEN EN INFLIBLES
6.1.1.1. 1. ERAN CONSISTENTES, NO PRODUCIAN CONTRADICCIONES
6.1.1.2. 2. ERAN FINITARIOS, LAS DEMOSTRACIONES SE PUEDEN LLEVAR A CABO SIGUIENDO PASOS LOGICOS DE FORMA ALGORITMICA
6.1.1.3. 3. SON COMPLETOS , CADA AFIRMACIÓN DEL SISTEMA SE PODRÍA DEMOSTRAR O BIEN QUE DECIR SI ES CIERTA O FALSA
6.2. KURT GODEL
6.2.1. PROBO QUE NINGUN SISTEMA PODRIA SER A ALA VEZ CONSISTENTE, RECURSIVO Y COMPLETO
6.2.2. EL PROGRAMA DE HILBERT ERA IMPOSIBLE DE CONCLUIR
6.2.3. DEMOSTRO SU PRIMER TEOREMA DE INCOMPLETITUD
6.2.4. CORROBOR QUE SEA CUAL SEA EL SISTEMA DEFINIDO, SI ESTA CONSTRUIDO DE FORMA QUE NO QUEPAN CONTRADICCIONES EXISTIRAN EN EL ENUNCUIADO DE LOS QUE NUNCA SE PODRA DEMOSTRAR NI SU FALSEDAD, NI SU VERICIDAD
6.3. KLEENE
6.3.1. ESTRELLA O CIERRE ESTRELLA
6.3.1.1. ES UNA OPERACIÓN QUE SE APLICA SOBRE UN CONJUNTO DE CADENAS O CARACTERES O UN CONJUNTO DE SIMBOLOS, Y REPRESENTA EL CONJUNTO DE LAS CADENAS QUE SE PUEDEN FORMAR TOMANDO CUALQUIER NÚMERO DE CADENAS DEL CONJUNTO INICIAL.
6.4. ALONSO CHURCH
6.4.1. DESARROLLO EL ASIMISMO EL CALCULO DE CONVERSIÓN LAMBDA, QUE PERMITE EFECTUAR OPERACIONES LOGICAS CON VARIABLES
6.4.2. MOSTRO QUE SOLO HAY PROBLEMAS NO RESOLUBLES, SI NO QUE NO PODEMOS SABER CUALES SON
6.5. ALAN TURING
6.5.1. PROBLEMA DE ENTSCHEIDUNGS PROBLEM
6.5.1.1. RESOLVIO ESTE PROBLEMA CON UN RAZONAMIENTO SIMILAR A GODEL
6.5.1.1.1. EL RESULTADO AFIRMA QUE EN CUALQUIER SISTEMA, NO ES POSIBLE DETERMINAR SI UN PROBLEMA AL AZAR TIENE O NO SOLUCION
6.5.1.1.2. DEMOSTRO QUE HAY PROBLEMAS QUE NO PUEDEN COMPUTARSE
6.5.1.1.3. TAMBIEN PROBO QUE ESTE MECANISMO O UN CONJUNTO DE ELLOS PUEDEN RESOLVER CUALQUIER TAREA ALGORITMICA REPRESENTADA
6.6. CHOMSKY
6.6.1. DEMOSTRO QUE NO HAY PROBLMA NO RESOLUBLE Y QUE SE PUEDE SABER CUALES SON
7. TEORIA DE LA COMPUTACIÓN
7.1. ¿QUÉ ES?
7.1.1. USA LOS ALGORITMOS
7.1.2. RAMA QUE SE OCUPA DE QUE LOS PROBLEMAS SE PUEDAN RESOLVER CON UN MODELO DE COMPUTACIÓN
7.1.3. BUSCA LA EFICIENCIA Y DETERMINA SU GRADO DE EFICINCIA
8. TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD (GOIDEL)
8.1. PRIMER TEOREMA
8.1.1. NO PUEDE DEMOSTRAR CUALQAUIER FORMULA MATEMATICA, AUNQUE SEA VERDADERA
8.2. SEGUNDO TEOREMA
8.2.1. NO PUEDE PROBARSE QUE UN SISTEMA AXIOMATICO QUE SE DERIVE DE LA ARITMETICA SEA CONSISTENTE, DENTRO DE LA LOGICA DEL PROPIO SISTEMA
8.2.1.1. UN SISTEMA AXIOMATICO CONSISTE QUE SE DERIVEN DE LA ARITMETICA, ES NECESARIAMENTE INCOMPLETO
9. MAQUINA DE TURING
9.1. ES EL MODELO MATEMATICO DE UN DISPOSITIVO QUE SE COMPORTA COMO UN AUTOMATA FINITO Y QUE DISPONE DE UNA CINTA DE LONGITUD FINITA EN LA QUE SE PUUEDEN LEER, ESCRIBIR O BORRAR SÍMBOLOS
9.1.1. TEORMA IMPORTANTE
9.1.1.1. SE PUEDE SIMULAR EL COMPORTAMIENTO DE UNA COMPUTADORA
9.2. DEFINICIÓN
9.2.1. M=(Q,Σ,T,δ,q0,B,F)
10. TEORIA DE LA COMPLEJIDAD
10.1. NO SOLO CONSIDERA SI SE PUEDE RESOLVER UN PROBELMA EN UNA COMPUTADORA
10.1.1. BUSCA LA EFICIENCIA
10.1.1.1. SE CONSIDERA DOS ASPCETOS PRINCIPALES
10.1.1.1.1. LA COMPLEJIDAD DL TIEMPO
10.1.1.1.2. LA COMPLEIDAD DE ESPACIO