Probabilités

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Probabilités par Mind Map: Probabilités

1. Calcul des proba

1.1. Calculs simple

1.1.1. P(A)=1-P(A|)=Card(A)/Card(Ome) P(A)=P(A^B)+P(A^B|) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A^B)

1.2. Système complet d'événements

1.2.1. Quand Ai^Aj=0 pour i=/J et A1UA2U...UAn=Omé donc P(A)=p(A^A1)+p(A^A2)+...+p(A^An)

1.2.1.1. P(A1/C)=P(C/A1)*P(A1)/SCI de C

1.3. Proba conditionnelle

1.3.1. Proba conditionnale de A sachant B P(A/B) la possibilité de réalisation de A sachant que B est déja réalisé P(A/B)=P(A^B)/P(B)

1.4. Indépendance

1.4.1. P(A^B)=P(A)*P(B)

1.4.2. P(A/B)=P(A)

1.4.2.1. car p(A/B)=P(A^B)/p(B)=p(A)*p(B)/p(B)=p(A)

1.4.3. (A et B|) et (A| et B|) sont indépendants

2. Dénombrement

2.1. Arr sans rép (ordre important)

2.1.1. A de K parmi N= n!/(n-k)! *Ck de n

2.1.2. AMPHI cmb de mots différents de 3 lettres A de parmi 5 = 5*4*3

2.2. Arr avec rép

2.2.1. N^k

2.2.2. Code pin de 4 chiffres? 10^4

2.3. Permuta sans rep

2.3.1. n!

2.3.2. Anagrame du mot LAIT =4!

2.4. Permu avec rep

2.4.1. N!/k!*k!

2.4.2. Anagramme du mot Economie= 8!/2!*2!

2.5. Combinaison sans rep

2.5.1. C de K parmi n

2.5.2. Groupe de 5 parmi 20 =C de 5 parmi 20

2.5.3. C k de n=C n-k de n C 0 de n= C n de n=1

2.5.4. Ckden= n!/(n-k)!*k!

2.5.4.1. Combien de possibilité de 5 numéros parmi 49

2.5.4.2. C5de49=49!/(49-5)!*5!

2.5.4.2.1. =49*48*47*46*45/5*4*3*2*1

3. Opérations sur les ensembles

3.1. Card(A)+Card(B)=Card(AUB)+Card(A^B)

3.2. Card(A)=Card(A^B)+Card(A^B|)

3.3. Card(A)=Card(oméga)-Card(A|)

3.4. A|UB|=(A^B)|

4. Echantillonage et estimation

4.1. Estimation Ponctuelle

4.1.1. La moyenne

4.1.1.1. X| est un estimateur sans biais de u dont u est la moyenne de pop et x| de l'echant

4.1.1.1.1. X|=1/n*Sxi

4.1.2. la viance et L'ecart type

4.1.2.1. u connue

4.1.2.1.1. T²=1/n*Sxi² -u²

4.1.2.2. u inconnue

4.1.2.2.1. S|²=n/n-1*S²=1/n*Sxi²-x|²

4.1.3. La proportion

4.1.3.1. pe=Xn/n pe=p^

4.2. Estimation par intervalle de confiance

4.2.1. La moyenne

4.2.1.1. Si n<30 il doit etre mentionné que X suit une loi normale centré réduite

4.2.1.1.1. σ connue

4.2.1.1.2. σ inconnue

4.2.1.2. Si n>30

4.2.1.2.1. σ connue

4.2.1.2.2. σ inconnue

4.2.2. l'écart type

4.2.2.1. µ connue

4.2.2.1.1. IC=[nt²/K(1-α/2);nt²/(α/2)]

4.2.2.2. µ inconnue

4.2.2.2.1. IC=[nS²/K(1-α/2);nS²/(α/2)]

4.2.3. La proportion

4.2.3.1. Si n>30 et nf>5 et n(1-f)>5

4.2.3.1.1. IC=[f-µ*rac(f*(1-f))/n; f+µ*rac(f*(1-f))/n)

5. Variables aléatoires discrétes

5.1. La loi de proba est le tableau des valeurs et des probas Avec S($)={valeurs}

5.2. E(X)=Sg xi pi

5.2.1. E(a)=a E(kX)=K*E(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X+a)=E(X)+a

5.3. V(X)=E(X²)-E(X)²=Sg xi² pi-E(x)²

5.3.1. Var(a)=0 Var(kX)=K²Var(X) Var(X+k)=Var(X)

5.4. Fonction de masse

5.4.1. f(x)= p1 si x=x1 p2 si x=x2 ... pn si x=xn 0 si x=/xi, i V (1,2,...,n)

5.5. Loi uniforme discrete

5.5.1. Vk de {1,2,...,n} P(X=k)=1/n E(X)=n+1/2 V(X)=n²-1/2

5.5.1.1. Lancé d'un dé équilibré

5.6. Fonction de répartition

5.6.1. F(X)=p(X<x) de -inf a +inf P(X<b)=p(X<=b)-p(x=b) P(a<X<b)=p(X<b)-p(x<=a)

6. Lois discrétes usuelles

6.1. Loi de Bernoulli

6.1.1. X suit Be(p) alors E(x)=p et V(x)=pq

6.1.1.1. Lancé d'une pièce de monnaie echec succés

6.2. Loi binomiale

6.2.1. la loi de probabilité d'une variable aléatoire représentant une série d'épreuves de Bernoulli X suit B(n,p)

6.2.1.1. P(X=k)=C de K parmi n *p^k*q^n-k

6.2.1.2. E(X)=np et V(x)=npq

6.2.1.3. Tire sur un oiseau 4 fois successives

6.3. Loi géométrique*

6.3.1. On répéte une épreuve de Bernoulli de façon indépendante jusqu'à l'obtention d'un succés, l'évenement X=n est la conjonction de n-1 echec suivi d'un succés

6.3.1.1. P(X=n)=p*q^n-1 quand X suit Geom*(p)

6.3.1.2. E(X)=1/p V(X)=1-p/p²

6.3.1.3. On lance un dé jusqu'à obtenir un succés. X est le nombre de lancers avant d'obtenir p

6.4. Loi géométrique

6.4.1. On répéte une épreuve de Bernoulli de façon indépendante, La variable X est le nombre de répétition AVANT l'obetention du succés, donc l'event X=n est la conjonction de n ehec suivi d'un succés

6.4.1.1. P(X=n)=p*q^n

6.4.1.2. E(X)=1-p/p et V(x)=1-p/p²

6.4.1.3. Imad tire sur un oiseau jusqu'a le 1er toucher, X le nombre de tir avant le 1er toucher

6.5. Loi hypergéométrique

6.5.1. Dans une boite de 14 boules, il y a 6 boules rouges et 8 boules jaunes. On tire au hasard 3 boules de la boite, sans remise. soit X le nombre de boules rouges tirés parmi les 3

6.5.1.1. Pour tout 0<=k<=3, P(X=k)=Ck6*C3-k8/C3de14

6.5.1.1.1. Alors X suit H(14,3,6/14)

6.6. Loi de poisson

6.6.1. X suit P(Y) Loi de poisson est adapté à l'étude des événements doit les chances de réalisation sont faibles

6.6.1.1. X(ome)=N et P(X=k)=e^-y*(y^k/k!)

6.6.1.2. E(X)=V(X)=y

7. Lois continus

7.1. Densité de proba

7.1.1. F est DDP ssi F est continue sur R sauf un nombre fini de points, Vx de R, f(x)>=0 et intégrale de -inf +inf de f(x)dx=1

7.1.1.1. P(X=a)=0

7.1.1.2. P(X>a)=P(X>=a)=Int de a à +inf f(x)dx

7.1.1.3. P(X>a)=1-P(X<a)

7.1.2. La variance de X, Int-+inf x²f(x)-(E(x))²

7.1.2.1. Espérance X E(X)=int-+inf xf(x)

7.1.3. La fonction de répartition de X

7.1.3.1. F(X)=P(X<x)=int-inf jusqu'à x exemple page 78

7.2. Loi uniforme continue

7.2.1. La densité est constante sur [a;b] et nulle ailleurs

7.2.1.1. f(x)=1/b-a si xC[a;b] et 0 sinon

7.2.1.2. E(x)=a+b/2 et v(x)=(b-a)²/12

7.2.1.3. La durée d'attente d'un bus qui passe tous les 15 min, f(x)=1/15, si xC[0;15] et 0 sinon

7.3. Loi exponentielle

7.3.1. La variable X suit une loi exponentielle de paramètre y>0 si sa f de densité est f(x)=ye^-yx si x>0 et f(x)=0 sinon$

7.3.1.1. E(x)=1/y et v(x)=1/y²

7.3.1.2. F(x)=0 si x<0 et F(x)=1-e^-yx si x >=0

7.3.1.3. Durée de fonctionnement d'un appareil électronique avant la 1er panne

7.4. Loi Normale-Loi de Gauss