1. KHÔNG GIAN VECTOR
1.1. KHÔNG GIAN R^N
1.1.1. Tập hợp các vecto n chiều R^n cùng với hai phép toán tuyến tính được gọi là không gian các vecto dòng.
1.2. TỔ HỢP TUYẾN TÍNH VÀ BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH.
1.2.1. Giả sử có đẳng thức: v = a1v1+ a2v2+ ...+ amvm
1.2.1.1. Vế phải sẽ được xem là tổ hợp tuyến tính của hệ v1,v2,..., vm
1.2.1.1.1. Tổ hợp tuyến tính được gọi là tầm thường nếu a1=a2=...=am=0
1.2.1.1.2. Nếu các hệ số a1,a2,...am không đồng thời bằng 0 thì THTT được gọi là không tầm thường.
1.2.1.2. v được biểu diễn tuyến tính qua hệ v1,v2,...vm
1.2.2. ĐK BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH.
1.2.2.1. v được BDTT qua hệ v1,v2,...vm khi và chỉ khi rankA= rank[A/v]
1.2.2.2. v được BD một cách duy nhất qua hệ v1,v2,...vm khi và chỉ khi rankA= rank[A/v]= m
1.3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH HAY PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH CỦA HỆ VECTO
1.3.1. Với R^n hệ m vecto dòng tùy ý
1.3.1.1. ĐLTT: rankA= m= số vecto của hệ.
1.3.2. PTTT: rankA< m = số vecto của hệ
1.3.3. m=n
1.3.3.1. ĐLTT: detA khác 0
1.3.3.2. PTTT: detA = 0
1.4. HẠNG CỦA HỆ VECTO
1.4.1. RANK(V1, V2,...VM)= R
1.4.1.1. Hệ S gồm r vecto nào đó của hệ v1,v2,...,vm sao cho (S) ĐLTT
1.4.1.2. Nếu bổ sung thêm bất kì một vecto nào của hệ v1,v2,...,vm vào (S) sẽ đều nhận được một hệ PTTT
1.5. CƠ SỞ- SỐ CHIỀU - TỌA ĐỘ
1.5.1. Mỗi cơ sở trong R^n đều có số vecto bằng nhau và đúng bằng n. [(B) là cơ sở R^n] tương đương detB khác 0 <=> rankB=n
1.5.2. Số vecto của mỗi cơ sở trong R^n được gọi là số chiều của R^n, dimR^n
1.5.3. [x]B hay [x] : dòng tọa độ của x đối với cơ sở (B)
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1. Định nghĩa: là một hệ gồm m phương trình bậc nhất đối với n ẩn
2.2. Xét hpt AX=B
2.2.1. Định lý Kronecker - Capelli
2.2.1.1. vô nghiệm: r(Ã) ≠ r(A)
2.2.1.2. có nghiệm duy nhất r(Ã) = r(A) = n
2.2.1.3. vô số nghiệm r(Ã)= r(A) < n ( số ẩn tự do = n - r(A) )
2.2.2. Hệ thuần nhất ( b=0 )
2.2.2.1. có nghiệm duy nhất r(A) = n
2.2.2.2. vô số nghiệm r(A) < n
2.3. Dạng bậc thang
2.3.1. với AX=b, Ã=[A/b] bằng phương pháp khử Gauss -----> [A'/b'] là ma trận bậc thang <==> A'X=b' là hệ dạng bậc thang
2.4. Phương pháp Cramer
2.4.1. det(A) ≠ 0 <=> hệ có nghiệm duy nhất
2.4.1.1. X=A^(-1) b
2.4.1.2. X= (∆1/∆ , ∆2/∆ ,..., ∆n/∆)
2.4.2. ∆=0, ∆i ≠ 0 => hệ vô nghiệm
2.4.3. ∆=∆1=.....=∆n=0 => hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm ( dùng thuật toán khử Gauss làm tiếp )
2.4.4. b=0
2.4.4.1. hệ có nghiệm duy nhất <=> det(A) ≠ 0 (X=0)
2.4.4.2. hệ vô số nghiệm <=> det (A) = 0
3. MỐI LIÊN HỆ
3.1. Ứng dụng chính của ma trận đó là phép biểu diễn các biến đổi tuyến tính, tức là sự tổng quát hóa hàm tuyến tính như f(x) = 4x. Ví dụ, phép quay các vectơ trong không gian ba chiều là một phép biến đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một ma trận quay R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) miêu tả vị trí của một điểm trong không gian, tích của Rv là một vec tơ cột miêu tả vị trí của điểm đó sau phép quay này. Tích của hai ma trận biến đổi là một ma trận biểu diễn hợp của hai phép biến đổi tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, có thể thu được một số tính chất của nó bằng cách tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác không. Quan niệm hình học của một phép biến đổi tuyến tính là nhận được (cùng với những thông tin khác) từ trị riêng và vec tơ riêng của ma trận.
4. TRỊ RIÊNG - VECTOR RIÊNG
4.1. Ta phân tích làm thế nào để tìm trị riêng và véctơ riêng của ma trận A. Giả sử λ0 là một giá trị riêng của ma trận A. Theo định nghĩa, tồn tại véctơ X0 , 0 để A · X0 = λ0 · X0 , A · X0 − λ0 · X0 = 0 , (A − λ0I) · X0 = 0 Suy ra X0 là một nghiệm khác 0 của hệ phương trình (A − λ0I) · X = 0 (1) Hệ thuần nhất (1) có nghiệm khác không , định thức của ma trận hệ số bằng 0 , det(A − λ0I) = 0. Suy ra λ0 là một nghiệm của pt det(A − λI) = 0 (2) (Pt đặc trưng của A.)
4.2. ĐỊNH NGHĨA
4.2.1. Cho A thuộc Mn(K). Số λ0 thuộc K được gọi là giá trị riêng của ma trận A, nếu tồn tại véctơ X0 , 0 sao cho A · X0 = λ0 · X0. Véctơ X0 được gọi là véctơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ0.
4.3. TÓM LẠI
4.3.1. 1/ Số λ0 là trị riêng của A khi và chỉ khi λ0 là nghiệm của phương trình đặc trưng.
4.3.2. 2/ Véctơ X0 là véctơ riêng của A ứng với trị riêng λ0 khi và chỉ khi X0 là một nghiệm khác 0 của hệ phương trình.
4.4. CÁC BƯỚC TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG CỦA MA TRẬN A.
4.4.1. Bước 1. (tìm giá trị riêng)
4.4.1.1. Lập phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0.
4.4.1.2. Tính định thức, giải phương trình.
4.4.1.3. Tất cả các nghiệm của phương trình là tất cả các trị riêng của A.
4.4.2. Bước 2. (tìm véctơ riêng)
4.4.2.1. Tương ứng với trị riêng λ1. Giải hệ phương trình (A − λ1I)X = 0. Tất cả
4.4.2.2. các nghiệm khác 0 của hệ là tất cả các véctơ riêng của A ứng với trị
4.4.2.3. riêng λ1. Tương tự tìm véctơ riêng của A ứng với các trị riêng còn lại.
5. ĐỊNH THỨC
5.1. CÁC TÍNH CHẤT
5.1.1. 1. det(A)=det(A^(t))
5.1.2. 2. det(AB)=det(A)det(B) với mọi ma trận A,B vuông cùng cấp
5.1.3. 3. det(αA)=α^ndet(A).
5.1.4. 4. Nếu có một dòng (hoặc một cột) bằng 0 thì định thức bằng 0
5.1.5. 5. Nếu có 2 dòng (hoặc 2 cột) giống nhau hay tỉ lệ với nhau thì định thức bằng 0
5.1.6. 6. Định thức của ma trận tam giác hay ma trận chéo bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính
5.1.7. 7. Nếu đổi chỗ 2 dòng (hoặc 2 cột) bất kì thì định thức đổi dấu
5.1.8. 8. Nếu nhân một dòng (hoặc một cột) bất kì với một số thì định thức cũng được nhân với số đó. Nói cách khác, nhân tử chung của một dòng (hoặc một cột) có thể đem ra ngoài dấu định thức.
5.1.9. 9. Định thức không tháy đổi khi thêm hoặc bớt vào một dòng (hoặc một cột) một bội của một dòng (hay cột) khác.
5.1.10. 10. Công thức Laplace khai triển định thức theo dòng hay cột bất kì : Nếu phát hiện thấy định thức có một dòng hay một cột nào đó chứa nhiều số 0 thì nên khai triển định thức theo dòng đó.
5.2. ĐỊNH THỨC QUA PHÉP BĐSC
5.2.1. A (di<->dj) A' => |A'|=-|A|
5.2.2. A (di=αdi) A' => |A'|=α|A|
5.2.3. A (di=di+αdj) A' => |A'|=|A|
5.2.4. A (di=αdi+βdj) A' => |A'|=α|A|
5.3. KÍ HIỆU : |A|, A thuộc Mn (R); det(A)=
5.3.1. a nếu n=1 ; A=[a]
5.3.2. an1An1+an2An2+...+annAnn nếu n>=1
6. MA TRẬN
6.1. CÁC LOẠI MA TRẬN
6.1.1. MA TRẬN DÒNG (HÀNG) CẤP M
6.1.1.1. Ma trận cấp 1xM - tức là chỉ có một dòng duy nhất gồm M phần tử (M nguyên dương)
6.1.2. MA TRẬN CỘT CẤP N
6.1.2.1. Ma trận cấp Nx1 - tức là chỉ có một cột duy nhất gồm N phần tử (N nguyên dương)
6.1.3. MA TRẬN KHÔNG
6.1.3.1. Là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0
6.1.3.1.1. Ma trận không cấp mxn kí hiệu là Omxn
6.1.3.1.2. Ma trận không (vuông) cấp n kí hiệu là On
6.1.3.1.3. Khi cấp đã được chỉ rõ không sợ nhầm lẫn ta có thể kì hiệu là O
6.1.4. MA TRẬN VUÔNG
6.1.4.1. Là ma trận có số dòng m bằng số cột n (m=n là số tự nhiên dương). Khi đó, thay vì nói ma trận cấp nxn ta sẽ nói ma trận vuông cấp n
6.1.5. MA TRẬN TAM GIÁC
6.1.5.1. MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN
6.1.5.1.1. Là ma trận tam giác vuông mà tất cả các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0
6.1.5.2. MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI
6.1.5.2.1. Là ma trận tam giác vuông mà tất cả các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0
6.1.6. MA TRẬN ĐƠN VỊ
6.1.6.1. MA TRẬN CHÉO
6.1.6.1.1. Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử không thuộc đường chéo chính đều bằng 0
6.1.6.2. Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính dều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0. KH : In
6.1.7. MA TRẬN ĐỐI XỨNG
6.1.7.1. Là ma trận vuông có các phần tử giống nhau đối xứng qua đường chéo chính
6.1.8. MỘT SỐ LOẠI MA TRẬN KHÁC
6.1.8.1. Ma trận phản xứng, Ma trận xác định, Ma trận trực giao...
6.2. CÁC PHÉP TOÁN
6.2.1. CHUYỂN VỊ
6.2.1.1. Ma trận A tùy ý, ma trận chuyển vị của A thu được bằng cách lần lượt viết các dòng của A thành các cột. KH : A^T hoặc At
6.2.2. CỘNG/TRỪ MA TRẬN
6.2.2.1. Cộng hai ma trận cùng cấp bằng cách cộng/trừ các phần tử tương ứng của chúng
6.2.3. NHÂN SỐ VỚI MA TRẬN
6.2.3.1. Nhân số đó lần lượt với tất cả các phần tử của ma trận
6.2.4. NHÂN MA TRẬN
6.2.4.1. Điều kiện : số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai
6.2.4.2. Thuật toán : muốn tìm phần tử ở dòng i cột j của ma trận tích AB, ta nhân các phần tử ở dòng i của ma trận A lần lượt với các phần tử ở cột j ở ma trận B rồi cộng các kết quả lại
6.2.4.3. Chú ý : AB # BA
6.2.5. LŨY THỪA MỘT MA TRẬN
6.2.5.1. Ma trận vuông, ta có phép toán lũy thừa bậc n là tích của n ma trận đó : A^n=A.A.A....A (n ma trận A)
6.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP
6.3.1. Đổi chỗ hai dòng cho nhau : di <-> dj
6.3.2. Nhân một dòng với một số khác không : di <-> adi (a#0)
6.3.3. Thêm (bớt) vào một dòng một tích của một số của một dòng khác : di <-> di + adj (a tùy ý)
6.4. CÁC TÍNH CHẤT
6.4.1. 1. A+B=B+A
6.4.2. 2. A+0=0+A=A
6.4.3. 3. A+(-A)=0
6.4.4. 4. (A+B)+C=A+(B+C)
6.4.5. 5. (AB)C=A(BC)
6.4.6. 6. 1.A=A ; I.A=A.I=A
6.4.7. 7. (ab)A=a(bA)
6.4.8. 8. (a+b)A=aA+bA ; a(A+B)=aA+aB
6.4.9. 9. (A+B)C=AC+BC ; A(B+C)=AB+AC
6.4.10. 10. (A+B)t=At+Bt ; (AB)t=BtAt
6.5. HẠNG CỦA MA TRẬN
6.5.1. Ma trận A là ma trận cấp mxn (m,n là các số nguyên dương) thì r(A) là số tự nhiên không vượt qua số bé nhất trong hai số m,n. Tức là : 0=<r(A)<=min(m,n)
6.5.2. Chú ý
6.5.2.1. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép BĐSC
6.5.2.2. Cho ma trận A. Nếu A=0 thì hạng của A bằng 0. Nếu A khác 0 thì hạng của A chính là số dòng khác 0 của mỗi dạng bậc thang của A.
6.5.3. Cách tìm hạng của ma trận khác không : đưa về dạng bậc thang bằng các phép BĐSC sau đó đếm số dòng khác không của dạng bậc thang đó ta được hạng của ma trận.
6.6. MA TRẬN KHẢ NGHỊCH
6.6.1. D=0 thì ma trận A không khả nghịch
6.6.2. Tìm ma trận nghịch đảo bằng thuật toán dùng phép BĐSC
6.6.2.1. Xét ma trận [A|I] BĐSC thành [I|A']. Vậy A' là ma trận nghịch đảo của A
6.6.3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng thuật toán dùng Định Thức
6.6.3.1. Bước 1 : Tính det(A)=D
6.6.3.1.1. D#0 thì ma trận A khả nghịch
6.6.3.2. Bước 2 : Tìm ma trận phụ hợp PA=[Aij]n rồi chuyển vị PAt
6.6.3.3. Bước 3 : Xét ma trận nghịch đảo : 1/DxPAt
6.6.4. KH : A^(-1)