1. Le modèle autoregressif spatial (SAR,SLM)
1.1. modèle
1.1.1. y=αl_N+ρW_y+Xβ+ϵ
1.2. propriétés
1.2.1. P.1 (Hétéroscédasticité des erreurs ) : les éléments de la diagonale de la matrice de variance covariance ne sont pas constants
1.2.2. P.2: biais de la valeur des coefficients estimés pour toutes les variables explicatives
1.2.3. P.3: covariance nulle entre chaque paire d'erreur et décroit avec l'éloignement
1.3. interprétations
1.3.1. I.1 (effet multiplicateur ) : la valeur de y dans une région est expliquée par les valeur des variables explicatives associées dans cette région et celles associées aux autres régions;
1.3.2. I.2 ( effet diffusion ) : un choc aléatoire dans une région i affecte la valeur y de lac région et les valeurs de y dans les autres régions
1.4. Estimasion
1.4.1. Ce modèle peux être estimé par la méthode du maximum de vraisemblance
1.4.1.1. -> Estimation par les MCO : Y=Xβo+ϵo et WY = XβL +ϵL -> Valeurs des résidus : ϵo=y-Xβ ̂o et ϵL = WL - Xβ ̂L -> On obtient l’estimation suivante : β ̂= β ̂o - ρ ̂β ̂L et σ_ε^2=((ϵo - ρ ̂ϵL)'.(ϵo - ρ ̂ϵL) / N
2. modèle
2.1. y=Xβ+ ε avec ϵ= λWϵ+u , et u ~ iid(0,σ^2 I)
3. Le modèle avec erreur spatiale ment autocorrélées (SEM) : on l'utilise lorsqu'il y a suspicion d'omission de variables explicatives suivant probablement un processus d'autocorrélation spatiale
3.1. propriétés
3.1.1. P1: V(u)= 〖σ^2 [(1-λW^')(1-λW)]〗^(-1) ε et Y ont une structure identique à celle du modèle SAR,SLM
3.1.2. P2:La covariance entre chaque chaque paire d'erreur est non nulle et décroissante avec l'ordre de proximité
3.1.2.1. P3: hétéroscédasticité des erreurs : La structure d'erreurs induit des éléments de la diagonale non constants
3.2. interprétations
3.2.1. I.1: y =Xβ+ 〖(1-λW)〗^(-1) ϵ : d'effet sur les coefficients associés aux variables explicatives
3.2.2. I:2: Absence d'effet de multiplicateur spatiale : E(y I X) = β
3.2.3. I:3〖(1-λW)〗^(-1) ϵ : Effet de diffuson spatiale
3.3. Estimation
3.3.1. Estimation d'un modèle SEM par GMM: Il s'agit de développer un ensemble de conditions sur les moments permettant l'estimation des équations pour les paramètres dans le modèle à erreurs autocorrélees.
4. Le modèle régressif croisé (SCM,SLX) : Pour chaque observation on introduit les caractéristiques moyennes (WZ) du voisinage pour expliquer l'évolution de y
4.1. modèle
4.1.1. y=Xβ+ WZθ+ϵ
4.2. interprétation du modèle
4.2.1. Z est une matrice de dimension de dimension (N,L) contenant les L variables ou non aux variables incluses dans X, WZ est l'ensemble des variables exogènes décalés pour la matrice de poids W et δ est le vecteur (L,1) de paramètres spatiaux indiquant l'intensité de la corrélation spatiale existant entre les observations de y et celles de Z. L'observation i y est expliquée par les valeurs prises par les variables de x dans la région de i par les variables z dans celles voisines
4.3. spécifité du modèle
4.3.1. I.1 : Pas de multiplicateur spatial et absence d'effet de diffusion spatiale
4.3.2. I.2 : On peut utiliser les matrices de pondérations spatiales intégrant des poids endogènes
4.4. Estimation
5. Le modèle SARAR
5.1. modèle
5.1.1. y= αl_N+ ρW_1 Y+Xβ+ ϵ avec ϵ= λW_2ϵ+u
5.1.2. Forme réduite :y=〖(1-ρW_1)〗^(-1) Xβ+(1- ρW_1 )^(-1) 〖(1-λW_2)〗^(-1) u
5.2. Propriétés
5.2.1. contient une variable endogène décalée et une autocorrélation des erreurs.
5.3. Interprétation
5.3.1. Deux matrices de pondération spatiale différente, sinon pas d'identification possible
5.4. Estimation
5.4.1. Estimation d'un SARAR par MV
5.4.2. Estimation d'un SARAR par GS2SLS
6. Le modèle spatial de Durbin
6.1. Modèle
6.1.1. y= ρWY+Xβ+WXθ+ ϵ
6.1.2. Forme réduite : y=(1-ρW)^(-1) (Xβ+WXθ+ϵ)
6.2. Propriétés
6.2.1. un modèle contenant à la fois des variables exogènes et endogènes décalées
6.2.2. La matrice W contient des zéros sur la diagonale principale et des valeurs non-négatives pour les termes en dehors de la diagonale principale
6.3. Interprétation
6.3.1. Effet d'intéractioncouplé à un effet de diffusion à travers.
6.3.2. Motivation pour introduire un terme autorégressif spatial lorsque l'on suspecte un problème de variables omises
6.4. Estimation
6.4.1. Ce modèle est estimé à l’aide de la méthode des variables instrumentales associé à l’estimateur SHAC pour la matrice de variances-covariances.