Algebra Lineal Ejercicio 1: Conceptualización de matrices, vectores y determinantes.

1. Vectores

1.1. VECTOR. Definición algebraica de un vector. Un vector v en el plano xy es un par ordenando de números reales (a, b). Donde los números a y b se denomina elementos o componentes del vector v .

1.1.1. La expresión algebraica de un vector es: v =(a,b)

1.2. NORMA. La norma, magnitud o longitud de un vector v es la distancia de cualquiera de sus representaciones.

1.2.1. La expresión algebraica de magnitud de un vector es: |v|=√a2+b2

1.3. VECTOR UNITARIO. Un vector unitario es un vector con longitud 1.

1.3.1. La expresión algebraica de vector unitario es: |v|= 1

1.4. ANGULOS DIRECTORES. Los ángulos directores de un vector v son los ángulos α, β y ϒ, donde α es el ángulo entre v y el eje x positivo, β es el ángulo entre v y el eje y positivo y el ϒ es el ángulo entre v y el eje z positivo.

1.4.1. La expresión algebraica de los ángulos directores es: cos α = x cos β = y cos ϒ = z |v| |v| |v|

2. Propiedades de los Vectores.

2.1. OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES.

2.1.1. Suma de Vectores

2.1.2. Diferencia de Vectores

2.1.3. Proyecciones

2.1.4. Multiplicación Vector por Escalar

2.1.5. Producto Escalar

2.2. VECTORES BASE

2.2.1. Son tres vectores unitarios que van en la misma dirección de los ejes coordenados i=(1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,0,1)

2.3. PRODUCTO PUNTO

2.3.1. Sean u = (a1, b1) y v = (a2, b2) entonces el producto escalar o producto punto de u y v, representado por u * v, esta dado por: u * v = a1*a2 + b1*b2 Si u = (a1, b1, c1) y v = (a2, b2, c2), entonces u*v = a1*a2 + b1*b2 + c1*c2

2.4. PRODUCTO VECTORIAL

2.4.1. Sea dos vectores en R3, u=(u1,u2,u3) y v =(v1,v2,v3), entonces el producto vectorial (cruz) de u y v, definido por u * v es: u * v =(u2*v3 - v2*u3)i - (u1*v3 - v1*u3)j + (u1*v2 - v1*u2)k el resultado es un vector

3. Matrices

3.1. MATRIZ.Es un arreglo de filas y columnas organizadas de tal manera que cada entrada contiene una determinada información, representado como m * n.

3.2. TIPOS DE MATRICES.

3.2.1. Matriz nula La matriz nula donde todos los elementos son cero. Suele designarse con un 0.

3.2.2. Matriz identidad Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal valen uno, es decir, la diagonal principal está formada por 1, y el resto de los elementos son 0.

3.2.3. Matriz diagonal Es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son ceros.

3.2.4. Matriz Rectangular. Tiene un número distinto de filas y columnas. m ≠ n

3.2.5. Matriz Fila. Matriz rectangular que tiene una sola fila. m = 1

3.2.6. Matriz Columna. Matriz rectangular que tiene una columna. n = 1

3.2.7. Matriz Opuesta. La matriz opuesta a otra matriz. Sus elementos tienen el signo contrario. A = -A

3.2.8. Matriz Traspuesta. Cualquier matriz m * n que se obtiene al convertir las filas en columnas. m * n = n * m. A = At

3.2.9. Matriz Cuadrada. Una matriz que tiene igual numero de filas que columnas. m = n.

3.2.10. Matriz triangular superior Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por encima de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

3.2.11. Matriz triangular inferior Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por debajo de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por encima de la diagonal principal son cero.

3.2.12. Matriz escalar La matriz escalar es toda matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

3.3. OPERACIONES CON MATRICES.

3.3.1. Suma de Matrices. La suma de los componentes correspondientes de A y B de la matriz m * n.

3.3.2. Resta de Matrices. La diferencia de los componentes correspondientes de A y B de la matriz m * n.

3.3.3. Multiplicación de una matriz por un escalar. La multiplicación de los componentes de la matriz A m*n por un escalar α.

3.3.4. Multiplicación de dos matrices. Es la multiplicación de los elementos de la fila i de la matriz A y la columna j de la Matriz B. Tanto filas como columnas deben tener el mismo número de componentes.

3.4. MATRIZ INVERSA

3.4.1. Una matriz cuadrada A y si existe otra matriz B del mismo orden que verifique: A*B = B*A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por A-1.

4. Determinantes

4.1. DETERMINANTES n x n

4.1.1. Sea A una Matriz de 2 X 2, el determinante de A se denota como: det A o | A | y se representa como | A | = a11*a22 - a12*a21.

4.2. PROPIEDADES DETERMINANTES

4.2.1. El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes: |A*B| = |A|*|B|

4.2.2. El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0.

4.2.3. Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.

4.2.4. Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n.

4.2.5. Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo.

4.2.6. Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar.

4.2.7. Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante.

4.2.8. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:

4.2.9. Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0.

4.2.10. El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por números distintos de 0.

4.2.11. El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal.

4.2.12. El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal.