1. Multiplicidad de una Raíz: Puede suceder que una o varias de las “n” raíces de una ecuación f ( x)=0 aparezca más de una vez en la descomposición factorial. Si esto ocurre a esa raíz se le llama “raíz múltiple” y la veces que se repite se le llama “grado de multiplicidad”. A la raíz que no se repite, es decir, aparece una sola vez, se les llama “raíz simple”.
2. Teorema de las Raíces Múltiples: Un número es raíz múltiple de la ecuación f(x)=0 si anula la ecuación y sus sucesivas derivadas hasta un cierto número de ellas. Una raíz múltiple hace referencia a un punto donde la función posee un valor crítico (un máximo, mínimo o un punto de inflexión).
3. Interpretación Gráfica de las Raíces Múltiples: Gráficamente las raíces múltiples se pueden ver cuando la curva toca en forma tangencial al eje x. Las raíces múltiples se repiten un número par de veces cuando la función no cambia de signo, y un número impar de veces cuando la función cambia de signo.
4. Teorema de las Raíces Complejas: Si un número complejo (a+bi) es raíz de una ecuación entera f(x)=0 de coeficientes reales, entonces su conjugado (a-bi) es también una raíz de la ecuación. Esto significa que las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados.
5. Binomio Irracional Cuadrático: Un binomio irracional cuadrático es una expresión de la forma (a+√b) siendo a y b números racionales y √b un número irracional. A la expresión (a-√b) se le llama binomio irracional cuadrático conjugado de (a+√b).
6. Teorema de las Raíces Racionales: Él teorema de la raíz racional es un caso especial (para un solo factor lineal) del lema de Gauss en la factorización de polinomios. El teorema de la raíz entera es un caso especial del teorema de la raíz racional si el coeficiente principal.
7. Transformación de Ecuaciones:Cuando las raíces de una ecuación no se conocen y es muy difícil determinarlas, son útiles todos los procedimientos que sirvan para simplificarla y poder obtenerlas. Para esto vamos a ver algunos procedimientos que nos permitan hacer transformaciones convenientes a las ecuaciones y hacer más fácil la solución de la misma. Transformar una ecuación es obtener otra cuyas raíces satisfagan relaciones preestablecidas respecto a la ecuación original.
8. Transformación mediante operaciones elementales: Dada una Ecuación transformarla en otra cuyas raíces sean múltiplos o submúltiplos de las raíces de la ecuación dada. (y = kx).
9. Variación de signo: En un polinomio f(x) que esté ordenado de forma descendente se dice que hay una variación de signo si dos términos sucesivos difieren en el signo. Para contar las variaciones no importa que el polinomio no esté completo, lo que sí importa es que esté ordenado descendentemente.
10. Acotación de las Raíces Reales:En lo que sigue supondremos que en la ecuación p(x) = 0, p(x) es un polinomio de grado n, con coeficientes reales y tal que an ≠ 0, a0 ≠ 0. También supondremos que en caso de tener coeficientes enteros, no tiene raíces enteras ni racionales (ya las habíamos calculado por los procedimientos anteriores). El problema de acotación de raíces, consiste en determinar una cota inferior y una cota superior del conjunto de las raíces de p(x) = 0. Calculemos primero la cota superior.
11. Teorema de Bolzano: "Este teorema permite la separación de las raíces reales de una ecuación". Enuncia que, dada una función f(x), continua y derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo c ∋ (a, b) para el que f(c) = 0..
12. 1. Ecuación Polinómica: es el resultado de igualar un polinomio a cero. Es decir, si un polinomio algebraico de grado “n” se iguala a cero, se obtiene una ecuación polinómica de grado “n”.
13. Raíz de una Ecuación: una raíz de una ecuación es todo valor, real o complejo, que la satisface; es decir, un valor que al sustituir la x por él en el polinomio, hace que tome un valor cero. Estos valores son los ceros del polinomio P(x).
14. Solución Gráfica de una Ecuación: Cómo es de esperar, el método gráfico consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. La solución del sistema es el punto de intersección entre las gráficas. La razón de ello es que las coordenadas de dicho punto cumplen ambas ecuaciones y, por tanto, es la solución del sistema.
15. Teorema Fundamental del Álgebra:“Toda ecuación racional entera, de grado mayor que cero, con una incognita tiene por lo menos una raíz o solución que puede ser real o compleja”.
16. Teorema de la Descomposición Factorial: "Toda ecuación de grado “n” tiene exactamente “n” raíces reales o complejas". La descomposición factorial de un polinomio consiste en expresar un polinomio como producto de otros polinomios de menor grado. A la descomposición factorial de polinomios también se la denomina factorización de polinomios.
17. Teorema de las Raíces Irracionales Cuadráticas: Si un binomio irracional cuadrático (a+√b) es raíz de la ecuación f(x)=0 con coeficientes racionales, entonces el binomio irracional cuadrático conjugado (a-√b) también es raíz de la ecuación.
18. Relación entre Coeficientes y Raíces de una Ecuación Algebraica: Cuando el coeficiente de x² es la unidad, las propiedades anteriores se simplifican así: La suma de las raíces es igual al coeficiente de x consigno contrario. 1.º c es positivo, entonces el producto de las raíces es positivo. Por tanto, las raíces tiene igual signo, las dos positivas o las dos negativas.
19. Tipos de transformaciones: Transformación de una Ecuación que posea raíces múltiples en otra cuyas raíces sean las mismas de la ecuación original, pero todas raíces simples.
20. Raíces nulas de una ecuación: La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polinomio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio. Igualando a cero.
21. Regla de los Signos de Descartes: Esta regla afirma que si f(x)=0 es una ecuación polinómica entera con coeficientes reales y sin raíces nulas tendrá tantas raíces reales positivas como variaciones de signo o es menor que este en un número par. Esto quiere decir, por ejemplo que si f(x) tiene 5 variaciones de signo, entonces existe la posibilidad de que hayan 5 – 0 = 5, 5 – 2 = 3 ó 5 – 4 = 1 raíces positivas.
22. Regla de Laguerre: Esta regla nos dará un método para encontrar el intervalo en el que se encuentran todas las raíces reales de una ecuación. El método de Laguerre es un método numérico de uso exclusivo para resolver ecuaciones algebraicas polinomiales (no se puede usar para otro tipo de ecuaciones) que nos permite calcular las raíces reales y complejas de cualquier ecuación algebraica de grado n realizando iteraciones.
