Cálculo 2

1. Topologia y sucesiones en Rn

1.1. Definiciones principales de topología

1.1.1. A es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación

1.1.2. Todas las bolas son conjuntos abiertos

1.2. Definiciones principales de sucesiones

2. Limites y continuidad

2.1. Definiciones principales de límites y continuidad

2.1.1. lim x->p f(x) = L ⇔ ∀(xk) sucesión en D \{p}/ xk → p ⇒ f(xk) → L Falta lo análogo para f continuas.

2.1.2. Una función continua en un compacto es uniformemente continua (Cantor)

2.1.3. Una función continua en un compacto tiene máximo y mínimo (Weierstrass)

3. Derivadas parciales y direccionales, diferenciabilidad

3.1. Derivadas parciales: sea (x,y) un punto interior a D y f: D(⊂ R2) → R entonces la derivada parcial de f con respecto a x (con respecto a y es análogo) en (x,y) es lim cuando ∆x → 0 de 1/∆x*[f(x+∆x,y)-f(x,y)]

3.2. Derivada direccional: igual que al principio de la definición anterior pero ahora se considera un vector V=(v1,v2), entonces la derivada direccional de f con respecto a V en (x,y) es lim cuando h → 0 de 1/h*[f(x+h.v1,y+h.v2)-f(x,y)]

3.3. Sea f: D(⊂ R2) → R y p=(x,y) interior a D, decimos que f es diferenciable en p si existen A y B tales que lim 1/||(∆x,∆y)||*(f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)-A∆x-B∆y) = 0.

3.3.1. EL teorema: Sea f una función diferenciable en p, entonces: 1) f es continua en p 2) f tiene derivadas parciales y valen A y B 3) Sea V un vector cualquiera, f tiene derivada direccional en p y es el producto interno entre V y el gradiente

3.3.2. Condicion suficiente de diferenciabilidad en un punto: que las derivadas parciales existan y sean continuas en ese punto

4. Regla de la condena

4.1. (Versión informal) Tenés una función A que va de R a R2 y que es derivable en t. Es decir, si A(t)=(x(t),y(t))=p, existen x'(t) y y'(t). Luego tenés una función B que va de R2 a R que es diferenciable en p. La composición de B con A es una función que va de R a R y es derivable en p. Su derivada vale fx(p)*x'(t)+fy(p)*y(t)