1. Termo geral da PG
1.1. O termo geral de uma PG é uma expressão que pode ser usada para encontrar um termo qualquer de uma progressão geométrica. Esse termo também é expresso por an e a expressão/fórmula utilizada para determiná-lo é:
1.1.1. Onde: n é o índice do termo que queremos determinar, ou seja, está ligado à posição desse termo na PG; a1 é o primeiro termo da progressão geométrica e q é sua razão. Por exemplo, para determinar o décimo termo da PG (1, 2, 4, 8, 16, …), podemos fazer: an = a1·qn – 1 a10 = 1·210 – 1 Pois a1 = 1, q = 2 e n = 10. Prosseguindo nos cálculos: a10 = 1·29 a10 = 29 a10 = 512
2. Soma dos termos de uma PG
2.1. Existem duas possibilidades para o cálculo da soma dos termos de uma PG. Ela pode ser finita ou o problema pode exigir a soma de uma quantidade finita de termos de uma PG infinita. Em ambos os casos, usamos a fórmula:
2.1.1. Exemplo de PG finita: Dê a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584). Para utilizarmos a fórmula da soma é preciso saber quem é o 1º termo, a razão e a quantidade de elementos que essa PG possui. a1 = 7 q = 2 n = ? Sn = ?
2.1.1.1. .
2.1.1.1.1. A soma dos termos de uma progressão geométrica finita.onde q (razão) é diferente de 1. Alguns casos em que a razão q pertence ao intervalo –1 < q < 1, verificamos que quando o número de elementos n se aproxima do infinito (+∞), a expressão qn tende ao valor zero. Portanto, substituindo qn por zero na expressão da soma dos termos de uma PG finita teremos uma expressão capaz de determinar a soma dos termos de uma PG INFINITA dentro do intervalo –1 < q < 1, observe:
2.1.1.1.2. .
2.1.2. Portanto, é preciso que encontremos a quantidade de elementos que possui essa PG, utilizando a fórmula do termo geral. an = a1 . qn – 1 3584 = 7 . 2n – 1 3584 : 7 = 2n – 1 512 = 2n – 1 29 = 2n – 1 n – 1 = 9 n = 10
2.1.3. Sn = a1 (qn – 1) q - 1 S10 = 7 (210 – 1) 2 – 1 S10 = 7 (1024 – 1) 2 – 1 S10 = 7 . 1023 S10 = 7161
3. Definição: sequência numérica é uma sucessão finita ou infinita de números obedecendo uma determinada ordem definida antecipadamente.
3.1. OBS:
3.1.1. Uma sequência numérica na matemática deve ser representada entre parênteses e ordenada.
3.1.2. EXEMPLOS: (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) sequência dos números naturais. (1, 3, 5, 7, 9, …) sequência dos números ímpares positivos.
4. Classificação.
4.1. Sequência Infinita: uma sequência infinita é representada da seguinte forma: (a1, a2, a3, a4, … , an, …).
4.1.1. EXEMPLO:(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …) sequência dos números naturais.
4.2. Sequência Finita: uma sequência finita é representada da seguinte forma: (a1, a2, a3, a4, … , an).
4.2.1. EXEMPLO:(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração.
5. Progressões Aritméticas: a sequência numérica onde, a partir do 2º termo, a diferença entre um número e seu antecessor resulta em um valor constante é denominada de Progressão Aritmética. O valor constante dessa sequência é chamado de razão da PA.
5.1. Em uma progressão aritmética podemos determinar qualquer termo ou o número de termos com base no valor da razão e do 1º termo. Para tais cálculos, basta utilizar a seguinte expressão matemática: an = a1 + (n – 1) * r .
5.1.1. EXEMPLO:Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica. a18 = 2 + (18 – 1) * 5 a18 = 2 + 17 * 5 a18 = 2 + 85 a18 = 87 O 18º termo da PA em questão é igual a 87.
6. Progressões Geométricas: uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica onde cada termo é igual ao produto de seu antecessor com uma constante, chamada razão da PG. Em outras palavras, a diferença entre dois termos quaisquer e consecutivos de uma PG é uma constante.
6.1. Exemplo de progressão geométrica: (1, 3, 9, 27, 81, …) Cada termo dessa PG, exceto o primeiro, é resultado de um produto de seu antecessor por 3,pois 3 = 3·1 e 9 = 3·3 e assim por diante.
6.2. A razão de uma PG é representada pela letra “q”. E seus elementos são representados por uma letra minúscula seguida de um número que indica a posição do número. Por exemplo, na PG acima, o termo ''a1'' é o primeiro termo e é igual a 1. O termo ''a4'' é o quarto termo e é igual a 27. Dessa forma, é costume indicar o enésimo de uma PG por ''an''.
6.2.1. Fazendo uso da definição de PG, podemos escrever o enésimo termo como um produto de seu antecessor an – 1 pela razão. Assim, a definição das progressões geométricas também pode ser dada da seguinte maneira.
6.2.1.1. Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses casos a expressão matemática Sn=(a1+a2)*n\2 determina a soma dos termos de uma PA.
6.2.1.1.1. EXEMPLO: na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 20 primeiros termos.
6.2.1.1.2. Cálculo da razão da PA. 3 – (–1) = 3 + 1 = 4 7 – 3 = 4 11 – 7 = 4 15 – 11 = 4
6.2.1.1.3. Determinando o 20º termo da PA a20 = –1 + (20 – 1) * 4 a20 = – 1 + 19 * 4 a20 = – 1 + 76 a20 = 75
6.2.1.1.4. Soma dos termos
6.2.1.1.5. A soma dos 20 primeiros termos da PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...) equivale a 740.