NÚMEROS COMPLEXOS

1. EX: Representação do número 3 + 2i na forma geométrica Z(3,2).

2. Quando ocorrer da parte real ser nula, o número é conhecido como imaginário puro. EX: -5i e 5i são imaginários puros por não possuírem parte real. E quando a parte imaginária for nula, o número complexo é também um número real.

3. Resumidamente, são resoluções de equações que envolvem raízes de números negativos, podendo acontecer de 3 maneiras.

4. Na adição de dois números complexos z1 e z2, somaremos a parte real de z1 e z2 e a parte imaginária, respectivamente. EX: soma de z1 e z2 z1 = 2 + 3i | z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 2)i z2 = 1 + 2i | z1 + z2 = 3 + 5i

5. A forma algébrica | z = a + bi Em que a e b são números reais. a: parte real, indicada por a = Re(z); b: parte imaginária, indicada por Im(z); i: unidade imaginária.

6. A forma trigonométrica ou polar

7. Na subtração (cujo inverso de z, é representado por –z, sendo o número complexo –z = –a – bi), também é feita a subtração entre as partes reais e entre as partes imaginárias separadamente. EX: subtração de z1 e z2 z1 = 2 + 3i | z1 – z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i z2 = 1 + 2i | z1 – z2 = 1 + 1i = 1+ i

8. Para a potenciação de unidades imaginárias, precisamos notar que as potências ocorrem de forma cíclica e as respostas sempre serão elementos do conjunto {1,i,–1,–i}, então, para encontrarmos uma potência da unidade i n, faremos a divisão de n (o expoente) por 4, e o resto dessa divisão (r = { 0, 1, 2, 3}) será o novo expoente de i. EX: cálculo de i25 é feita a divisão de 25 por 4; o quociente será 6 e o resto será igual a 1; i 25 = i1 = i

9. Multiplicação de números complexos é feita a partir da propriedade distributiva. EX: produto de (2+3i) (1 – 4i) (2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i – 12i ² | (2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i (2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i + 12 | (2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i

10. Para a divisão, precisamos multiplicar a fração pelo conjugado do denominador para que fique bem definido o que é a parte real e o que é a parte imaginária.

11. Módulo e argumento de um número complexo é a distância do ponto (a,b) que representa esse número no plano complexo até a origem, ou seja, o ponto (0,0).

12. A forma geométrica, representada no plano complexo conhecido também como plano de Argand-Gauss;

13. POLINÔMIOS

13.1. É uma expressão algébrica entre monômios, que acontece quando ela possui números e letras e seus expoentes separados apenas por multiplicação. É representado algebricamente por: anxn + a(n-1) x(n-1) + … + a2x² + a1x + a

13.2. O grau de um polinômio que possui uma variável é determinado pelo monômio de maior grau. EX: 2x² – 3x³ + 5x – 4 → a variável é x; o maior expoente dela é 3, ou seja, polinômio de grau 3.

13.3. Quando o polinômio possui mais de uma variável, devemos somar o grau os expoentes de cada uma das variáveis. EX: 2xy + 4x²y³ – 5y4 | x²y³ → grau 5 (2 + 3) xy → grau 2 (1 + 1) | y³ → grau 3

14. Para a adição de dois polinômios, é necessária a redução dos monômios semelhantes (possuem partes literais iguais). EX: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. qual o valor de P(x) + Q(x)? | (2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4 2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4 | 6x² + 2x +7

15. Para a subtração, precisamos primeiro vamos escrever o polinômio oposto antes de fazer a simplificação dos termos semelhantes. EX: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule P(x) – Q(x). 1º o polinômio oposto: -Q(x) = -4x² +2x – 4 P(x) + (-Q(x)) | 2x² + 4x + 3 – 4x² + 2x – 4 2º simplificação dos termos : (2 – 4)x² + (4 + 2)x + (3 – 4) -2x² + 6x + (-1) | -2x² + 6x – 1

16. Na multiplicação de polinômios usamos a propriedade distributiva entre os dois polinômios, multiplicando os monômios do primeiro polinômio pelos do segundo.

16.1. EX: P(x) = 2a² + b e Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calcule P(x) · Q(x) | (2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²) 1º a propriedade distributiva: 2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b² 2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³

16.1.1. 2º simplificar os termos semelhantes: 2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³ 2a5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³ 2a5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

17. A divisão de dois polinômios só é possível se o grau do divisor for menor e para fazer isso, usamos o método de chaves. Sendo: P(x): dividendo | Q(x): quociente D(x): divisor | R(x): resto

17.1. EX: divisão do P(x) = 15x² +11x + 2 pelo D(x) = 3x + 1 (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) no final, teremos que (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) = 5x + 2 ou seja: Q(x) = 5x + 2 | R(x) = 0

17.1.1. 1º divisão do primeiro monômio do dividendo com o primeiro do divisor: 15x² : 3x = 5x

17.2. 2º multiplicação 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, e subtrair o resultado de P(x), onde invertermos os sinais do resultado da multiplicação para ser possível.

17.2.1. 3º divisão do primeiro termo do resultado da subtração pelo primeiro termo do divisor.