1. Conjunto dos números inteiros (Z)
1.1. Subconjuntos de Z
1.1.1. •Z*= inteiros não nulos. •Z+= inteiros não negativos. •Z-= inteiros não positivos. •Z*+= inteiros positivos não nulos. •Z*-= inteiros negativos não nulos.
1.2. Operações no conjunto dos inteiros
1.2.1. •A soma de dois inteiros é sempre um inteiro. •O produto de dois inteiros é sempre um inteiro. •A diferença de dois inteiros é sempre um inteiro. •O quociente da divisão de dois inteiros nem sempre é um inteiro. Para que isto ocorra o dividendo deve ser múltiplo inteiro do divisor.
1.3. •O conjunto dos inteiros possui infinitos elementos. •Não existe o menor número inteiro, pois o conjunto tem infinitos números negativos. •Não existe o maior número inteiro, pois o conjunto tem infinitos números positivos. •N contido Z •N união Z = Z •N interseção Z = N •Z diferença N = Z*- •N diferença Z = conjunto vazio •Z*+ união Z*- = Z* •Z*+ interseção Z*- = conjunto vazio •Z+ união Z- = Z •Z+ interseção Z- = {0}
2. Conjunto dos números racionais (Q)
2.1. Subconjuntos de Q
2.1.1. •Q* = racionais não nulos. •Q+ = racionais não negativos. •Q- = racionais não positivos. •Q*+ = racionais positivos não nulos. •Q*- = racionais negativos não nulos.
2.2. Operações no conjunto dos racionais
2.2.1. •A soma de dois racionais é sempre um racional. •O produto de dois racionais é sempre um racional. •A diferença de dois racionais é sempre um racional. •O quociente da divisão de dois racionais diferentes de zero, sempre é um racional. Zero dividido por qualquer racional diferente de zero é igual a zero
2.3. •O conceito de par ou ímpar é um conceito válido até o conjunto dos números inteiros. Para números racionais que não são inteiros ele perde a validade. •Os conceitos de sucessor e antecessor perdem a validade para números racionais que não são inteiros. •O conjunto dos racionais possui infinitos elementos. •Não existem os conceitos de menor ou maior número racional. •N contido Z contido Q •Q interseção N = N •Q interseção Z = Z •Q união N = Q •Q união Z = Q •Q diferença Q+ = Q*- •Q diferença Q*+ = Q- •Q+ interseção Q- = {0} •Q*+ interseção Q*- = conjuntos vazio •Q diferença Q- = Q*+ •Q diferença Q- * = Q+ • Q+ união Q- = Q
3. Novo Tópico
4. Conjunto dos números naturais (N)
4.1. Subconjunto de N
4.1.1. •N* = naturais não nulos. •Conjunto dos números primos (P): é formado por todos os números que são divisíveis apenas por 1 e por si mesmo. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} •Conjunto dos números compostos (C): é formado por todos os números que não são primos. C = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …} •Conjunto dos quadrados perfeitos (Q): é formado por todos os números que são resultados de uma potência em que o expoente é 2. Q = (1, 4, 9, 16, 25, 36, …) •Conjunto dos números pares O conjunto dos números naturais pares reúne os números não negativos múltiplos de dois. Assim sendo, ao conjunto dos números naturais pares (P) pertencem os seguintes elementos: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, …} A forma geral desse subconjunto dos números naturais é a seguinte: (p) é um número par se: p = 2·n Nessa forma geral, (n) é um número natural. É possível, com essa forma, descobrir se um número é par. Por exemplo: 22 é um número par? Observe que, para ser par, 22 deve ser o resultado da multiplicação de algum número natural por dois: 22 = 2·n Assim, se dividirmos 22 por dois e encontrarmos um número natural como resultado, significa que 22 é um número par; caso contrário, ele não é. 22:2 = 11 •Conjunto dos números ímpares O conjunto formado pelos números naturais ímpares (I) é o subconjunto dos naturais que contém todos os números que não são pares. Assim, esse conjunto é formado pelos seguintes elementos: I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …} Também existe uma forma geral para os números ímpares. Se (i) é um número ímpar, então: i = 2·n + 1 Na forma acima, (n) é um número natural. Dessa maneira, quando é necessário descobrir se um número é ímpar, basta dividi-lo por dois. Se o resultado deixar resto o algarismo um, então, o número é ímpar.
4.2. Operações no conjunto dos naturais
4.2.1. •Soma de dois números naturais é sempre natural. •O Produto de dois números naturais é sempre natural. •O quociente da divisão de dois números nem sempre é natural. Para que isto ocorra o dividendo deve ser múltiplo natural do divisor. Lembre-se que a divisão por zero, é uma das indeterminações matemáticas, logo não é natural. •A diferença de dois números naturais nem sempre é natural. Para que isto ocorra o minuendo deve ser maior que o subtraendo.
4.3. •O conjunto dos naturais possui infinitos elementos. •O menor número natural é o zero. •Não existe maior número natural, pois tem infinitos elementos.
5. Conjunto dos números reais (R)
5.1. Subconjunto de R
5.1.1. •R* = reais não nulos. •R+ = reais não negativos. •R- = reais não positivos. •R *+ = reais positivos não nulos. •R*- =reais negativos não nulos.
5.2. Operações no conjunto dos reais
5.2.1. •A soma de dois reais é sempre um real. •O produto de dois reais é sempre um real. •A diferença de dois reais é sempre um real. •O quociente da divisão de dois reais diferentes de zero é sempre é um real. Zero dividido por qualquer real diferente de zero, é igual a zero.
5.3. •Os conceitos de simétrico, inverso e módulo continuam tendo sentido com os números reais que não são racionais. •N contido Z contido Q contido R. •Q união I = R. •R interseção Q = Q •R diferença Q = I •R diferença I = Q •R união Q = R •R interseção I = I •R união I = R
6. Conjunto dos números irracionais (I ou Q`)
6.1. Subconjunto de I
6.1.1. •I+ = irracionais positivos. •I- = irracionais negativos.
6.2. Operações no conjunto dos irracionais
6.2.1. •A soma de dois irracionais nem sempre é um irracional. Se eles foram simétricos a soma é zero. •O produto de dois irracionais nem sempre é um irracional. •A diferença de dois irracionais nem sempre é um irracional. Se eles forem iguais a diferença é zero. •O quociente da divisão de dois irracionais nem sempre é irracional.