1. História do surgimento!
1.1. O desenvolvimento dos logaritmos nasceu da necessidade de simplificação de alguns cálculos matemáticos, principalmente por conta do desenvolvimento da Astronomia e da expansão do comércio causada pelas grandes navegações.
1.2. Uma maior intensidade nesse desenvolvimento se deu entre os séculos XVI e XVII e os logaritmos surgiram como meios de cálculos, que transformavam complexas operações de multiplicação e divisão em simples operações de adição e subtração.
1.3. O inventor dos logaritmos foi o escocês John Neper (1550-1617).
2. Propriedades!
2.1. As propriedades dos logaritmos são propriedades operatórias que simplificam os cálculos dos logaritmos, principalmente quando as bases não são iguais.
2.2. Logaritmo de um produto
2.2.1. Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números.
2.3. Logaritmo de um quociente
2.3.1. Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números.
2.4. Logaritmo de uma potência
2.4.1. Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
2.5. Mudança de base
2.5.1. Para aplicar as propriedades anteriores é necessário que todos os logaritmos da expressão estejam na mesma base. Do caso contrário, será necessário transformar todos para uma mesma base.
2.5.2. A mudança de base é feita aplicando-se a seguinte relação:
2.5.3. Uma aplicação importante dessa propriedade é que o log a(b) é igual ao inverso do log b(a), ou seja:
3. Definição!
3.1. Logaritmo é uma função matemática que está baseada nas propriedades da potenciação e exponenciação.
3.2. O valor do logaritmo corresponde ao expoente que se deve elevar uma determinada base, positiva e diferente de 1, para que o resultado seja igual a um número positivo b.
3.3. a = base, que deve ser maior que zero (a > 0) e diferente de um (a ≠ 1). b = logaritmando, sendo que b deve ser maior que zero (b > 0). x = logaritmo.
4. Aplicação!
4.1. Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, entre outras. Por meio de exemplos, demonstraremos a utilização dessas técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.
4.2. 1º Exemplo – Matemática Financeira
4.2.1. Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 em uma instituição bancária, que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?
4.2.2. M = C·(1 + i)^t. M (montante) = 3500 C (capital) = 500 i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ? M = C·(1 + i)^t 3500 = 500·(1 + 0,035)^t 3500/500 = 1,035^t 1,035^t = 7 Aplicando o logaritmo: log 1,035^t = log 7 t·log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica) t·0,0149 = 0,8451 t = 0,8451 / 0,0149 t = 56,7
4.3. 2º Exemplo – Geografia
4.3.1. Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população dessa cidade dobrará, se a taxa de crescimento continuar a mesma?
4.3.2. População do ano-base = P0 População após um ano = P0·(1,03) = P1 População após dois anos = P0·(1,03)^2= P2 População após x anos = P0·(1,03)^x = Px Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos: Px = 2·P0 P0·(1,03)^x = 2·P0 1,03^x = 2 Aplicando logaritmo: log 1,03^x = log 2 x·log 1,03 = log2 x·0,0128 = 0,3010 x = 0,3010 / 0,0128 x = 23,5 A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.
4.4. 3º Exemplo – Química
4.4.1. Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, reduza-se a 200 g. Utilize a seguinte expressão: Q = Q0·e^–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos
4.4.2. Q = Q0·e–rt 200 = 1000·e–0,02t 200/1000 = e–0,02t 1/5 = e–0,02t (aplicando definição) –0,02t = loge1/5 –0,02t = loge5–1 –0,02t = –loge5 –0,02t = –ln5 (–1) 0,02t = ln5 t = ln5 / 0,02 t = 1,6094 / 0,02 t = 80,47 A substância levará 80,47 anos para reduzir-se a 200 g.