1. 2. La temperatura durante setiembre está distribuida normalmente con media 18,7oC y desviación standard 5oC. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por debajo de 21oC.
1.1. μ = 18,7ºC σ = 5ºC Z=X-μ/σ= 21-18,7/5= 0,46 X = 21ºC
1.1.1. Ahora vamos a la tabla y para el valor de Z = 0,46 tenemos que la probabilidad es de 0,6772.
1.1.1.1. Justamente, la tabla nos proporciona la probabilidad desde que ocurran sucesos menores que Z = 0,46. Esto es, la probabilidad de que ocurran sucesos desde menos infinito hasta el valor de Z de 0,46 es 0,6772. Esto es, un 67,72 %.
1.1.1.1.1. Sucesos menores que Z = 0,46 es lo mismo que decir que la temperatura sea menor que 21oC. Con la variable X hablamos de temperatura, con la variable estándar hablamos de Z.
2. Es una distribución con forma de campana donde las desviaciones estándar sucesivas con respecto a la media establecen valores de referencia para estimar el porcentaje de observaciones de los datos. Estos valores de referencia son la base de muchas pruebas de hipótesis, como las pruebas Z y t.
2.1. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
2.1.1. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.
3. Histograma de una distribución normal hipotética
3.1. Puesto que la distribución de estos datos es normal, usted puede determinar exactamente qué porcentaje de los valores está dentro de cualquier rango específico. Por ejemplo:
3.1.1. Alrededor del 95% de las observaciones está dentro de 2 desviaciones estándar de la media, indicado por el área sombreada en azul. El 95% de los valores se ubicará dentro de 1.96 desviaciones estándar con respecto a la media (entre 1.96 y +1.96). Por lo tanto, menos del 5% (0.05) de las observaciones estará fuera de este rango. Este rango es la base del nivel de significancia de 0.05 que se utiliza para muchas pruebas de hipótesis.
3.1.1.1. Aproximadamente el 68% de las observaciones está dentro de una 1 desviación estándar de la media (-1 a +1), y alrededor del 99.7% de las observaciones estarían dentro de 3 desviaciones estándar con respecto a la media (-3 a +3).
4. Ejemplos
4.1. 1. La temperatura durante setiembre está distribuida normalmente con media 18,7oC y desviación standard 5oC. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por encima de 21oC.
4.1.1. La probabilidad de que ocurran temperaturas menores que 21oC es de 0,6772, entonces ahora la probabilidad de que ocurran temperaturas mayores será: 1 - 0,6772 = 0,3228. Esto es un 32,28%.
5. Distribución binomial
5.1. Es una distribución de probabilidad ampliamente utilizada de una variable aleatoria discreta es la distribución binomial. Esta describe varios procesos de interés para los administradores.
5.1.1. La distribución binomial esta asociada a experimentos del siguiente tipo:
5.1.1.1. • La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las ademas ocasiones.
5.1.1.2. • La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.
5.2. Ejemplos
5.2.1. Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.
5.2.1.1. En este caso E ́xito = E = “tener hijo” y p(E) = 0’5. Fracaso = F = “tener hija” y p(F) = 0’5. Estamos por tanto ante una binomial Bin(6;0’5) y nos piden p(X=2). Si aplicamos la fo ́rmula es: P(X = 2) = 6/2 ·(0′5)2 ·(0′5)4 = 0′2344
6. Distribución de Poisson
6.1. Se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce.
6.1.1. La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) .
6.1.1.1. Utilizamos la letra X mayúscula para representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede asumir la X mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula mediante la fórmula:
6.1.1.2. P(x) = l x * e-l / x!
6.1.1.3. l x = Lambda (número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x.
6.1.1.3.1. Ejemplo
6.1.1.4. e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa.
6.1.1.5. x! = x factorial.