1. Distribucion Binomial En estadística , la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que indica el número de éxitos al realizar una secuencia de n ensayos independientes entre sí, con una probabilidad fija (p) de ocurrencia del éxito entre esos ensayos. Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica. La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli , se expresa con la fórmula: P(x)=(n/x).px.qn-x
1.1. EJEMPLO supongamos que se tira una moneda al aire 5 veces. Calcular la probabilidad de que salga cara 4 veces. El fenómeno aleatorio sigue la distribución binomial ya que solo puede ser cara o cruz y la probabilidad de que salga cara no está afectado por los resultados anteriores. p = q = 0,5 (la probabilidad de que salga cara es la misma de que salga cruz = 0,5 p(x=3) = f (3) = (5/3) (0.5)3 (0.5)5-3
1.1.1. Características de La distribución binomial puede considerarse como una generalización del modelo de Bernoulli,(experimento aleatorio éxito-fracaso) en donde el experimento se realiza n veces y se utiliza en experimentos o eventos que tienen las siguientes características: a) Sólo hay 2 posibles resultados. b) Los resultados son independientes c) La probabilidad de éxito permanece constante en todas las veces que se realice el experimento. d) El experimento se realiza n veces bajo las mismas condiciones y estamos interesados en que hayan x éxitos. e) Cuando hay extracción de elementos, se debe realizar con reemplazo.
2. La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).
2.1. La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) . Utilizamos la letra X mayúscula para representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede asumir la X mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula mediante la fórmula: P(x) = l x * e-l / x! l x = Lambda (número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x. e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa. x! = x factorial. Ejemplo : Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado. Aplicando la fórmula anterior: P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674 P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370 P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425 P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042 P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552 Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a : P(0) = 0.00674 P(1) = 0.03370 P(2) = 0.08425 P(3) = 0.14042 P(3 o menos) = 0.26511 Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489. La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial. Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como : n=>20 p=<0.05 En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo que la fórmula quedaría así: P(x) = (np) X * e-np /x!
2.1.1. Caracteristicas: La distribución de Poisson verifica el teorema de adición para el parámetro l . Este resultado es importante a la hora del cálculo de probabilidades , o , incluso a la hora de inferir características de la distribución binomial cuando el número de pruebas sea muy grande y la probabilidad de éxito sea muy pequeña .
3. Distribucion Normal La distribución normal es una distribución con forma de campana donde las desviaciones estándar sucesivas con respecto a la media establecen valores de referencia para estimar el porcentaje de observaciones de los datos. Estos valores de referencia son la base de muchas pruebas de hipótesis, como las pruebas Z y t.
3.1. Ejemplo de una distribución normal La estatura de todos los adultos masculinos que residen en el estado de Pennsylvania siguen aproximadamente una distribución normal. Por lo tanto, la estatura de la mayoría de los hombres estará cerca de la estatura media de 69 pulgadas. Un número similar de hombres serán un poco más altos y un poco más bajos que 69 pulgadas. Solo unos pocos serán mucho más altos o mucho más bajos. La desviación estándar es de 2.5 pulgadas. Aproximadamente, el 68% de los hombres de Pennsylvania tiene una estatura de entre 66.5 (μ - 1σ) y 71.5 (μ + 1σ) pulgadas. Aproximadamente, el 95% de los hombres de Pennsylvania tiene una estatura de entre 64 (μ - 2σ) y 74 (μ + 2σ) pulgadas. Aproximadamente, el 99.7% de los hombres de Pennsylvania tiene una estatura entre 61.5 (μ - 3σ) y 76.5 (μ + 3σ) pulgadas.
3.1.1. Característica de la distribución normal tipificada (reducida o estándar): No depende de ningún parámetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas y tiene un máximo en este eje.