1. DISTRIBUCION BINOMIAL
1.1. HISTORIA
1.1.1. La distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que solo pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli, quien escribió el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de lassagas de matemáticos más importantes de la historia.
1.2. DEFINICION
1.2.1. La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
1.3. CARACTERISTICAS
1.3.1. 1. En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).
1.3.2. 2. Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.
1.3.3. 3. Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.
1.3.4. 4. El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.
1.4. USO DE LAS TABLAS DE DISTRIBUCION BINOMIAL
1.4.1. La distribucion binomial se encuentra tabulada por lo que es f´acil calcular probabilidades sin necesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribuci´on binomial es necesario conocer: - El numero de veces que se realiza el experimento (n). - La probabilidad de ´exito (p). - El numero de ´exitos (k). La probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0’01 hasta 0’5). El numero de veces que se realiza el experimento, en la primera columna (valores desde 2 a 10) y el n´umero de ´exitos a su lado.
1.5. EXPERIMENTO BINOMIAL
1.5.1. Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p). Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos. Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).
2. DISTRIBUCION NORMAL
2.1. HISTORIA
2.1.1. La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss"
2.2. DEFINICION
2.2.1. La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del universo μ. La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a σ, la desviación standard de la población.
2.3. PROPIEDADES
2.3.1. 1. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana (aproximadamente).
2.3.2. 2. La curva normal es asintótica al eje de las abscisas. Por ello, cualquier valor entre menos infinito e infinito es teóricamente posible. El área bajo la curva normal es igual a la unidad.
2.3.3. 3. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre -∞ y +∞ es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.
2.3.4. 4. El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y desviación estándar. La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de µ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de la desviación estándar, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.
3. DISTRIBUCION DE POISSON
3.1. HISTORIA
3.1.1. Siméon Denis Poisson, (1781-1840), astronauta francés, alumno de Laplace y Lagrange, en Recherchés sur la probabilité des jugements...., un trabajo importante en probabilidad publicado en el año 1837, la distribución de Poisson recién aparecía. La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces.
3.2. DEFINICION
3.2.1. La distribución de Poisson parte de la distribución binomial: Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson: Se tiene que cumplir que: " p " < 0,10 " p * n " < 10 Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.
3.3. CARACTERISTICAS
3.3.1. El número medio (promedio) de eventos en el espacio temporal o región específica de interés, por lo general esta media se representa por la lambda griega (l)
3.3.2. El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente de el número que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región
3.3.3. La probabilidad de que un resultado muy pequeño ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región
3.3.4. La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es inapreciable, que se puede asignar el valor de 0
3.4. USOS
3.4.1. Se emplea para describir varios procesos:
3.4.1.1. Distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador
3.4.1.2. La demanda de servicios en un hospital por parte de los pacientes
3.4.1.3. Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro
3.4.1.4. El número de accidentes en un cruce
3.4.1.5. El número de defectos en una tela por m2
3.4.1.6. El número de bacterias por cm2