1. Teorema Fundamental del Cálculo
1.1. Primer Teorema Fundamental del Cálculo: La integración definida también puede ser considerada como un caso especial de la suma de Riemann en el que se calcula el límite de la suma de Riemann.
1.1.1. La integración definida de una función dada es el proceso del cálculo del área limitada de algún gráfico o curva donde los límites superior e inferior especifican los límites de integración.
1.1.1.1. El Primer Teorema Fundamental del Cálculo justifica este procedimiento. Matemáticamente, para alguna función real f(x), la cual, para un intervalo cerrado [a, b], es de naturaleza continua, tenemos un integrando F(x), que también es una función valorada real en el mismo intervalo cerrado [ a, b].
2. Función Primitiva
2.1. se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevo la función original f(x). Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x).
2.1.1. podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintos de c sin ningún pre-requisito para obtener a c.
2.1.1.1. Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia. Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos. Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, antiderivada, etc.
3. Propiedades de la integral definida
3.1. Estas propiedades se derivan de la definición básica misma de las integrales definidas a través de largos procedimientos con el fin de hacer más fácil la solución de problemas. Algunas de las propiedades básicas de las integrales definidas se discuten a continuación.
3.1.1. 1 La integración de una función para un solo punto, esto es, que tanto el límite superior como el límite inferior son el número mismo, producirá cero como resultado.
3.1.1.1. 2 La integración de una función para algunos límites es el inverso de la integración de la misma función cuando los límites de integración son intercambiados.
3.1.1.1.1. 3 La integración de una constante para algunos límites de integración es igual a la multiplicación de esa constante con la diferencia de los límites de integración.
4. Teorema de Existencia
4.1. El Teorema de Existencia es uno de esos métodos que cumple tal objetivo. El Teorema de existencia afirma la existencia de una única salida para una ecuación diferencial dada.
4.1.1. Este teorema es aplicable únicamente a las ecuaciones diferenciales de primer orden.
4.1.1.1. Matemáticamente, el teorema puede ser establecido como, para una función dada f: X→ Y, la cual es continua en el área limitada (generalmente un rectángulo) del plano x-y,
5. Cálculo de Integrales Definidas
5.1. El cálculo de la integral definida se denomina a menudo como integración numérica o cuadratura numérica o simplemente cuadratura.
5.1.1. Sin embargo, este es utilizado generalmente más para una ecuación dimensional, para las ecuaciones con más de una dimensión, el uso de la palabra curvatura es más adecuado. Se utiliza para calcular la solución numérica aproximada de una integral definida dada.
5.1.1.1. Existen varias formas para calcular la solución de un problema de integral definida.
6. Definición de Integral Definida
6.1. La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio.
6.1.1. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites.
7. Sumas de Riemann
7.1. Y que es definida en un intervalo cerrado [p, q] que se encuentra en algún lugar en la recta numérica real, dividimos el intervalo de manera tal que para. Después de haber estudiado los gráficos y las curvas a profundidad, tenemos que estudiar cómo encontrar el área bajo la curva de un gráfico.
7.1.1. El método debe su nombre al matemático que lo inventó, Bernhard Riemann, que fue un matemático alemán. La suma de Riemann para un gráfico se puede calcular de cuatro maneras diferentes, a saber; suma de Riemann por la izquierda, suma de Riemann de punto medio, suma de Riemann por la derecha y la regla del trapecio.
8. Notación Sumatoria
8.1. las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación.
8.1.1. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación, 1+2+3...+100
8.1.1.1. Esta expresión representa una operación que incluye la suma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usadolos puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie.
9. Medición aproximada de figuras amorfas.
9.1. Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta área.
9.1.1. Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada. Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.
9.1.1.1. 2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y.
9.1.2. 3 . situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo. Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración, entonces A = | f(x) dx|
9.1.2.1. 4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encima del eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán, A = |A1| + A2