ECUACIONES LINEALES

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ECUACIONES LINEALES por Mind Map: ECUACIONES LINEALES

1. Se puede definir como la relación de identidad entre dos cantidades

1.1. se dividen en:

1.1.1. Expresiones

1.1.2. Variables

1.1.3. Coeficientes

2. Problemas al resolver ecuaciones

2.1. Probar soluciones

2.1.1. Dar puntos que cumplan con las condiciones

2.1.2. Reemplazar valores en las variables

2.2. Encontrar soluciones

2.2.1. Despejar

2.2.2. Dar valores

2.3. Existencia de soluciones

2.3.1. Si es consistente

2.3.2. Si es inconsistente

2.4. Número de soluciones

2.4.1. Puden ser 1, varios o ninguno

3. Consistente

3.1. si la cardinalidad es mayor o igual a 1

3.1.1. Determinado

3.1.1.1. si tiene solo una solución

3.1.2. Indeterminado

3.1.2.1. si tiene varias soluciones

3.2. si dos o más rectas pasan por el mismo punto

3.3. el vector ¨0¨ siempre sera consistente

3.3.1. ¨0¨=c1a1+.......+cnan es una ecuacion vectorial homogenea.

4. Inconsisente

4.1. si no tiene soluciones

4.2. cuando dos rectas son paralelas

4.3. cuando tres rectas no comparten el mismo punto de cruce

5. Métodos geométricos

5.1. Gráficar las ecuaciones

5.2. Identificar las intersecciones

5.3. Clasificarlas como consistentes o inconsistentes

6. Matrices

6.1. compuesta de

6.1.1. pivotes

6.1.1.1. elemento de la matriz que debe ser igual a 1

6.1.2. Escalones

6.1.2.1. cuando debajo de cada pivote haya un 0

6.1.2.2. no es escalonada cuando en el extremo hay un numero diferente de 1

6.2. Operaciones elementales de fila

6.2.1. Remplazo

6.2.1.1. Sustituir una fila por la suma de si misma y un múltiplo de la otra fila.

6.2.2. Intercambio

6.2.2.1. Intercambiar dos filas.

6.2.3. Escalamiento

6.2.3.1. multiplicar todos los elementos de una fila por una constante diferente de 0.

6.3. Conjunto ordenado de números con dimensiones horizontales y verticales

6.3.1. Notación matricial

6.3.1.1. Tamaño de una matriz

6.3.1.1.1. n= numero de columnas y m= numero de filas

6.3.1.2. Estructuras matriciales

6.3.1.2.1. separa los coeficientes de las variables en las ecuaciones con los coeficientes independientes.

6.3.1.3. Matriz aumentada

6.3.1.3.1. se agregan todos los coeficientes de las ecuaciones de forma ordenada.

6.4. definiciones

6.4.1. al comprar dos matrices decimos que son iguales si el orden y numero de los elementos es el mismo

6.4.2. Variable básica

6.4.2.1. aquella que tiene pivotes

6.4.3. Variable libre

6.4.3.1. aquella que no tenga pivotes

6.4.4. Matriz escalonada

6.4.4.1. cunado los pivotes estan en forma de escalon y avanzan hacia abajo y a la derecha

6.4.5. Matriz reducida

6.4.5.1. cuando arriba de un pivote todo es 0.

6.5. Matriz inversa

6.5.1. Una matriz A es invertible si y solo si existe la inversa que pertenece a R¨n*n¨

6.5.1.1. tal que

6.5.1.1.1. al multiplicar la inversa por la matiz me de la indentidad

6.5.1.1.2. al multiplicar la matriz por la inversa me de la identidad

6.5.2. Problemas

6.5.2.1. Dado A eR¨n*n¨

6.5.2.1.1. P.AL.1 Existe la inversa de A tal que la inversa por A= a la identidad ¨n*n¨ o al multiplicar A por la inversa me de la identidad¨n*n¨?

6.5.2.1.2. P.AL.2 Encontrar la inversa de A eR¨n*n¨

7. Ecuación matricial

7.1. es la combinación lineal de las columnas de A utilizando como pesos las entradas correspondientes en x

7.1.1. Si A es una matriz de m*n, con columnas a1,…, an, y si b está en Rm, la ecuación matricial tiene el mismo conjunto solución que la ecuación vectorial

8. Espacio Generado

8.1. el conjunto de todos los vectores y que seam C.L. de los vectores de ¨a¨ se llaman espaios generados por ¨a¨

8.2. se puede denotar como

8.2.1. Gen o utilizando los signos (<>)

8.2.1.1. el Gen es el conjunto de todas las C.L.

9. independencia lineal

9.1. es linealmente independiente si la ec vectorial es determinada

9.2. es linealmente dependiente cuando la ec vectorial es indeterminada

9.3. Problemas comunes

9.3.1. dado los vectores ¨a¨ cR el conjunto es linealmente independiente

9.3.1.1. Si, (ec. vectorial) es determinada o por el teorema 7 ninguno es C.L.

9.3.1.2. No, (ec. vectorial) es indeterminada y por el teorema 7 encontre un vector

9.3.2. dados los vectores ¨ä¨ encontrar el sub conjunto mas grande que sea linealmente independente

9.3.2.1. encontrar todos los vectores de C.L

9.3.2.2. Teorema 7. Quitar esos vectores

10. Espacio lineal

10.1. solo si el 0 vector pertenece a Rm, el vector ¨v¨y¨w¨ pertenecen al espacio lineal entonces la suma de estos dos vectores deben pertenecer al espacio ineeal, un escalar multiplicado por vector pertenecen a un espacio lineal

10.2. Conjunto generado finito

10.2.1. sean los vectores ¨a¨ y sea H subconjunto de Rm esp. lineal

10.2.1.1. los vectores ¨a¨ es un conjunto generado finito H si y solo si el Gen de los vectores ¨a¨ es igual a H.

10.3. Problema

10.3.1. Encontrar un conjunto gen finito

10.3.1.1. METODO cuando m=2:

10.3.1.1.1. Si H es una recta, un solo vector es un puntocualquiera

10.3.1.1.2. Si H es R2 hay dos puntos cualquiera que son linealmente independientes

10.4. Dimensiones

10.4.1. cantidad maxima de vectores Lin. Ind qquue genera un espacio lineal

10.5. Bases

10.5.1. cantidad minima de vectores que generan un subespacio

10.5.1.1. tienen que cumplir 3 condiciones sabiendo que H es el subespacio generado

10.5.1.1.1. ¨v¨ y ¨u¨ pertenecen a H al igual que ¨v¨+¨u¨

10.5.1.1.2. Si ¨v¨pertenece a H, c¨v¨pertenece a H

10.5.1.1.3. Si el ¨0¨ pertenece a H

10.5.2. Problema

10.5.2.1. dado H subconjunto de Rm esp. lineal encontrrar su base

10.5.2.1.1. METODO

11. Ortogonalidad

11.1. es ortogonal cuando ¨x¨.¨y¨=0

11.2. Def. Producto inferior o punto

11.2.1. <¨x¨,¨y¨>= ¨x¨.¨y¨ eR

11.2.2. El resultado de esta multiplicacion es un numero

11.3. Def. Norma

11.3.1. IIxII= RAIZ DE ¨x¨.¨x¨ mayor o igual a 0

11.4. Def. Distancia

11.4.1. d(¨x¨,¨y¨)=II¨x¨-¨y¨II

11.4.2. propiedades, x,y,z son vectores

11.4.2.1. d(x,y)=0 si y solo si x=y

11.4.2.2. d(x,y)= d(y,x)

11.4.2.3. d(x,z)= d(x,y) + d(y,z)

11.5. Def. Normalidad

11.5.1. ¨x¨ es normal unitario cuando

11.5.1.1. II¨X¨II=1

11.5.1.2. ¨x¨.¨x¨=1

11.6. Def. Conj. Ortogonal

11.6.1. sean varios vectores de Rm

11.6.1.1. si el producto punto de cada pareja es 0 entonces son ortogoganes, ¨todos contra todos¨.

12. Proyecciones

12.1. teorema

12.1.1. cos θ=Iy.xL/IIxII.IIIyII

12.2. La proyeccion del vector debe ser del mismo tamaño que el vector

12.3. Sea L una linea y el vector y

12.3.1. el vector proveccion de y sobre L es equivalente a la proyeccion de y sobre x donde x es la base de L

12.4. Tomamos vectores base ortogonales para la suma de proyecciones

12.5. Minimos cuadrados

12.5.1. Sea H un espacio generado subconjunto de Rm

12.5.1.1. Proyeccion de y sobre H= a las combinaciones lineales de los vectores

12.5.2. debe cumplir

12.5.2.1. At .y= At.A.c

12.5.2.1.1. At es la matriz A transpuesta

12.5.2.2. B= At.A

12.5.2.3. b=At.y

12.5.2.4. Bc=b

12.5.2.5. B invertible debe ser consistente determinada

13. Diagonalizacion

13.1. Una matriz cuadrada A es diagonalizable si A es similar a una matriz diagonal, es decir, si A = PDP-1

13.2. Una matriz A de n *n es diagonalizable, si y solo si A tiene n vectores propios linealmente independientes.

13.3. Metodo

13.3.1. Hallar valores propios de A

13.3.2. Encontrar 3 vectores propios de A que sean linealmente independientes

13.3.3. Construir P con los vectores independietes

13.3.4. Construir D con los valores propios

14. Conjunto solucion de sistemas lineales

14.1. Homogeneo

14.1.1. si se puede escribir de la forma Ax=0

14.1.1.1. x≠0

14.1.2. Siempre consistente

14.1.2.1. determinado

14.1.2.2. indeterminado

14.2. No homogeneos

14.2.1. cuando tienen muchas soluciones

15. Pasos para encontrar soluciones

15.1. 1.- Identificar números que pertenezcan al conjunto o ecuación

15.2. Determinar las condiciones de la ecuación

15.3. 2.- Despejar una varible

15.4. Algunas variables son parámetros

15.5. 3.-Dar valores

15.6. 4.-Concluir si el valor del resultado es falso o verdadero

15.7. 5.- Igualar la ecuación orignal con la despejada

15.8. 6.- Ver si son iguales o equivalentes

15.9. Es equivalente cuando comparten todas las soluciones

15.10. 7.-Responder si las soluciones fueron resultado de un ensayo o despeje

16. Métodos algebráicos

16.1. Reducción

16.2. Igualación

16.3. Sustitución

16.4. Gauss

16.5. Matriz Inversa

16.6. Regla de Cramer

17. Teorémas

17.1. 2.- Un sistema lineal es

17.1.1. 2.A.- Inconsistente

17.1.1.1. si y solo si existe una fila ¨extraña¨ en una matriz aumentada [0 0 0 I b] b≠0

17.1.2. 2.2.A.- Consistente

17.1.2.1. si y solo si no existe ninguna fila ¨extraña¨

17.1.3. 2.3.B.-consistente determinado

17.1.3.1. si el numero de pivotes en la matriz aumentada es equivalente escalonada

17.1.4. 2.4.B.- Consistente indeterminado

17.1.4.1. si los pivotes son menores a las variables p<n

17.2. 3.- El conjunto solucion de las ecuaciones vectoriales es el mismo de las de un sistema lineal y de las ecuaciones matriciales

17.3. 4.Las columnas de A generan R¨m¨

17.3.1. para todo ¨y¨ ϵR¨m¨, la ec. vect es constistente

17.3.2. para todo ¨y¨ ϵR¨m¨, la ec. matricial es consistente

17.3.3. todas las filas de ¨A escalonada¨ tienen pivote.

17.3.4. Metodo

17.3.4.1. analizar A en forma escalar; A ϵR¨m*m¨ cuadrada

17.3.4.2. todas las filas tienen pivore si las columnas generan R¨m¨

17.3.4.3. al menos una fila no tiene pivote entonces las columnas no generan R¨m¨

17.4. 5.- Sea Ax=b, x el vector incog.

17.4.1. se justifica con el teorema 2

17.4.2. Ax=b Determinado entonces A es invertible

17.5. 7.- Si los vectores de ¨a¨ son consistentes o linealmente dependiente entonces existe al menos un vector de ¨a¨ que es combinacion lineal de los otros.

17.5.1. 7.a.- A es invetible entonces A equivale por filas I eR¨nxn¨

17.5.1.1. La forma escalonada reducida de A es I eR¨nxn¨.

17.5.2. 7.b.- Si A es invertible entonces las mismas op. elementales que transforman A en I transforman I en la inversa.

17.5.3. METODO

17.5.3.1. 1. Transformar A a su forma escalonada reducida

17.5.3.2. 2.1. TEO 2/ si es identidad entonces si si existe

17.5.3.3. 2.2. TEO 2/ no es identidad entonces no, no existe

17.6. 8.- Si n>m los vectores ¨a¨ son consitentes por lo que son linealmente dependientes

17.7. Todo vector ¨0¨ es linealmente independiente

17.8. Si existe una variable libre en la ecuación de la I.L crean (ec. vect homogenea) y hace que sea Lin. Dep.

17.9. Si la f es una funcion matricial el rango es igual al espacio generado

17.10. 10.A.- Si f es lineal existe una unica matriz A tal que f(x)=Ax; x siendo un vector

17.11. 10.B.- Si f es lineal entonces an=f(ei)

17.12. Toda funcion lineal es inyectiva

17.13. 12.A.- f es suryectiva y genera Rm

17.14. 12.B.- f es biyectiva si n=m y las columnas de A son linealmente independientes

17.15. Rm es espacio lineal

17.16. Si el espacio generado es todo Rm entonces el Gen es un espacio lineal

17.17. Si el gen es subconjunto de Rm siempre es espacio lineal

17.18. Sea ¨x¨ eRm, ¨x¨ debe ser distinto a 0

17.18.1. A) Existe un unico ¨x¨ eRm tq

17.18.1.1. II¨x¨II=1

17.18.1.2. ¨x¨=c¨x¨

17.18.2. B) C= 1/II¨x¨II

18. Matriz vector

18.1. Una matriz con una sola columna es un vector columna.

18.2. Operaciones

18.2.1. Igualdad

18.2.1.1. son iguales cuando

18.2.1.1.1. tienen el mismo tamaño (mismo numero de columnas y filas).

18.2.1.1.2. tienen mismos elementos

18.2.2. Suma o resta

18.2.2.1. se suma o se resta cuando

18.2.2.1.1. tienen el mismo tamaño

18.2.2.1.2. los elementos son correspondientes

18.2.2.1.3. A+ (vector x)= no existe

18.2.3. Multiplicacion escalar

18.2.3.1. NO es conmutativa

18.2.3.2. c = a un numero

18.2.3.3. A = a una matriz

18.2.3.3.1. cA ≠ Ac

18.2.3.4. se multiplica c para cada elemento de la matriz.

18.2.4. Forma parametrica

18.2.4.1. conjunto solucion ordenado por el valor de las variables

18.2.5. Multiplicación matriz-matriz

18.2.5.1. no es conmutativa

18.2.5.2. A ∈R(m*n); B ∈R (n*p); AB ∈R(m*p)

18.2.5.3. no existe cuando el numero de columas de la primera matriz no es el mismo que el numero de filas de la segunda matriz

18.2.6. Multiplicacion matriz-vector

18.2.6.1. al multiplicar estos como resultado me dará otro vector

19. Combinación lineal

19.1. Dados los vectores v1, v2,…, vp en y dados los escalares c1, c2,…, cp, el vector y definido por y=c1v1+c2v2.....cnvn.

19.1.1. problemas comunes

19.1.1.1. P.C.L.1Dado vectores A y coeficientes C encontrar vector ¨y¨.

19.1.1.1.1. solución

19.1.1.2. P.C.L.2 Dado los vectores ¨A¨ y dado los vectores ¨y¨ encontrar coeficientes escalares

19.1.1.2.1. solución

19.1.1.2.2. El vector ¨y¨ es combinacion lineal de los vectores ¨a¨

19.1.1.3. P.C.L.2.1 Encontrar valores para escalares C

19.1.1.4. P.C.L.2.2 Existen valores para escalares C?

19.1.1.4.1. La ec. vectorial es consistente?

19.1.1.4.2. La ec. vectorial tiene al menos una solución?

19.1.1.5. P.C.L.3 Dados los vectores A hallar los vectores ¨y¨ que sean cominacion lineal de A

19.1.1.5.1. Se responde creando un conjunto con las condiciones que se deben cumplir

19.1.1.6. P.C.L.3.1 Dado los vectores A y dado C encontrar vectores ¨y¨ que pertenezcan a C

19.1.1.7. P.C.L.3.2 Dada una matriz A ϵR¨m*n¨ .¿Las columnanas de A generan R¨m¨?

19.1.1.7.1. si, cuando el gen de los verctores a es igual a R¨m¨ o cuando no hay condiciones para la combinacion lineal.

19.1.1.7.2. no, cuando hay condiciones para la comb. lineal o cuando el gen solo incluye a R¨m¨.

19.2. Espacios Generados

19.2.1. Es el conjunto de todos los vectores y ϵR¨m¨que son C.L de vectores ¨a¨

20. Transformaciones lineales

20.1. y=f(x)

20.1.1. x eR: INDEPENDIENTE

20.1.2. y eR: DEPENDIENTE

20.2. siempre y cuando no causen contradicciones

20.2.1. Dominio de la funcion son todos los valores de las variables independientes

20.2.2. Rango de la funcion son todos los valores de las variables dependientes.

20.2.3. Ambos son subconjuntos de los reales

20.3. f es lineal en Df cuando

20.3.1. f(v+w)=f(v)+f(w)

20.3.2. f(cv)=cf(v)

20.3.3. v,w son vectores y c pertenece a los reales

20.4. Problemas

20.4.1. dada una funcion lineal encontar

20.4.1.1. su matriz

20.4.1.1.1. se usa el teorema 10.B como metodo de resolucion

20.4.1.2. su rango

20.4.1.2.1. 1. Encontrar su matriz

20.4.1.2.2. 2. Encontrar el espacio generado de las columnas de A.

20.4.1.3. inyectividad

20.4.1.3.1. es inyectiva si para todos los valores de x corresponde a un y

20.4.1.4. suryectividad

20.4.1.4.1. es suryectiva si para todo y tiene al menos un x

20.4.1.5. biyectividad

20.4.1.5.1. cada y tiene un unico x

21. Determinantes

21.1. La matriz A debe ser cuadrada

21.2. Si las columnas de A son L. Independientes la determinante de una matriz debe ser distinta de 0

21.3. La deteerminante de A es la multiplicacion de los elementos de la diagonal principal

21.4. Si se intercambian filas el determinante cambia de signo

21.5. Metodo 1

21.5.1. Seleccional una fila/columna fija con mayor cant de ceros

21.5.2. Encontrar sign(A)

21.5.3. Encontrar las submatrices

21.5.4. Calcular det de todas las submatrices

21.6. Metodo 2

21.6.1. Reducir A forma escalonada

21.6.2. Mult. elementos de la diagonal principal

22. Valores propios

22.1. λ es valor propo de A si existe un vector perteneciente a Rn, tal que Av=λv

22.2. P.V.V.P.1.-Encontrar valor propio

22.2.1. Construir B=A-λI, λeR

22.2.2. det(A-λI)= p(λ)

22.2.3. Encontrar todos los λ tal que p(λ)=0

22.3. P.V.V.P.2.-Encontrar espacio propio Eλ=nul(A-λI)

22.3.1. Hallar los valores de λ

22.3.2. reemplazarlos y hallar el conjunto solucion