ECUACIONES LINEALES

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ECUACIONES LINEALES por Mind Map: ECUACIONES LINEALES

1. Conjunto solucion de sistemas lineales

1.1. Homogeneo

1.1.1. si se puede escribir de la forma Ax=0

1.1.1.1. x≠0

1.1.2. Siempre consistente

1.1.2.1. determinado

1.1.2.2. indeterminado

1.2. No homogeneos

1.2.1. cuando tienen muchas soluciones

2. Se puede definir como la relación de identidad entre dos cantidades

2.1. se dividen en:

2.1.1. Expresiones

2.1.2. Variables

2.1.3. Coeficientes

3. Problemas al resolver ecuaciones

3.1. Probar soluciones

3.1.1. Dar puntos que cumplan con las condiciones

3.1.2. Reemplazar valores en las variables

3.2. Encontrar soluciones

3.2.1. Despejar

3.2.2. Dar valores

3.3. Existencia de soluciones

3.3.1. Si es consistente

3.3.2. Si es inconsistente

3.4. Número de soluciones

3.4.1. Puden ser 1, varios o ninguno

4. Pasos para encontrar soluciones

4.1. 1.- Identificar números que pertenezcan al conjunto o ecuación

4.2. Determinar las condiciones de la ecuación

4.3. 2.- Despejar una varible

4.4. Algunas variables son parámetros

4.5. 3.-Dar valores

4.6. 4.-Concluir si el valor del resultado es falso o verdadero

4.7. 5.- Igualar la ecuación orignal con la despejada

4.8. 6.- Ver si son iguales o equivalentes

4.9. Es equivalente cuando comparten todas las soluciones

4.10. 7.-Responder si las soluciones fueron resultado de un ensayo o despeje

5. Métodos algebráicos

5.1. Reducción

5.2. Igualación

5.3. Sustitución

5.4. Gauss

5.5. Matriz Inversa

5.6. Regla de Cramer

6. Consistente

6.1. si la cardinalidad es mayor o igual a 1

6.1.1. Determinado

6.1.1.1. si tiene solo una solución

6.1.2. Indeterminado

6.1.2.1. si tiene varias soluciones

6.2. si dos o más rectas pasan por el mismo punto

6.3. el vector ¨0¨ siempre sera consistente

6.3.1. ¨0¨=c1a1+.......+cnan es una ecuacion vectorial homogenea.

7. Inconsisente

7.1. si no tiene soluciones

7.2. cuando dos rectas son paralelas

7.3. cuando tres rectas no comparten el mismo punto de cruce

8. Métodos geométricos

8.1. Gráficar las ecuaciones

8.2. Identificar las intersecciones

8.3. Clasificarlas como consistentes o inconsistentes

9. Matrices

9.1. compuesta de

9.1.1. pivotes

9.1.1.1. elemento de la matriz que debe ser igual a 1

9.1.2. Escalones

9.1.2.1. cuando debajo de cada pivote haya un 0

9.1.2.2. no es escalonada cuando en el extremo hay un numero diferente de 1

9.2. Operaciones elementales de fila

9.2.1. Remplazo

9.2.1.1. Sustituir una fila por la suma de si misma y un múltiplo de la otra fila.

9.2.2. Intercambio

9.2.2.1. Intercambiar dos filas.

9.2.3. Escalamiento

9.2.3.1. multiplicar todos los elementos de una fila por una constante diferente de 0.

9.3. Conjunto ordenado de números con dimensiones horizontales y verticales

9.3.1. Notación matricial

9.3.1.1. Tamaño de una matriz

9.3.1.1.1. n= numero de columnas y m= numero de filas

9.3.1.2. Estructuras matriciales

9.3.1.2.1. separa los coeficientes de las variables en las ecuaciones con los coeficientes independientes.

9.3.1.3. Matriz aumentada

9.3.1.3.1. se agregan todos los coeficientes de las ecuaciones de forma ordenada.

9.4. definiciones

9.4.1. al comprar dos matrices decimos que son iguales si el orden y numero de los elementos es el mismo

9.4.2. Variable básica

9.4.2.1. aquella que tiene pivotes

9.4.3. Variable libre

9.4.3.1. aquella que no tenga pivotes

9.4.4. Matriz escalonada

9.4.4.1. cunado los pivotes estan en forma de escalon y avanzan hacia abajo y a la derecha

9.4.5. Matriz reducida

9.4.5.1. cuando arriba de un pivote todo es 0.

9.5. Matriz inversa

9.5.1. Una matriz A es invertible si y solo si existe la inversa que pertenece a R¨n*n¨

9.5.1.1. tal que

9.5.1.1.1. al multiplicar la inversa por la matiz me de la indentidad

9.5.1.1.2. al multiplicar la matriz por la inversa me de la identidad

9.5.2. Problemas

9.5.2.1. Dado A eR¨n*n¨

9.5.2.1.1. P.AL.1 Existe la inversa de A tal que la inversa por A= a la identidad ¨n*n¨ o al multiplicar A por la inversa me de la identidad¨n*n¨?

9.5.2.1.2. P.AL.2 Encontrar la inversa de A eR¨n*n¨

10. Teorémas

10.1. 2.- Un sistema lineal es

10.1.1. 2.A.- Inconsistente

10.1.1.1. si y solo si existe una fila ¨extraña¨ en una matriz aumentada [0 0 0 I b] b≠0

10.1.2. 2.2.A.- Consistente

10.1.2.1. si y solo si no existe ninguna fila ¨extraña¨

10.1.3. 2.3.B.-consistente determinado

10.1.3.1. si el numero de pivotes en la matriz aumentada es equivalente escalonada

10.1.4. 2.4.B.- Consistente indeterminado

10.1.4.1. si los pivotes son menores a las variables p<n

10.2. 3.- El conjunto solucion de las ecuaciones vectoriales es el mismo de las de un sistema lineal y de las ecuaciones matriciales

10.3. 4.Las columnas de A generan R¨m¨

10.3.1. para todo ¨y¨ ϵR¨m¨, la ec. vect es constistente

10.3.2. para todo ¨y¨ ϵR¨m¨, la ec. matricial es consistente

10.3.3. todas las filas de ¨A escalonada¨ tienen pivote.

10.3.4. Metodo

10.3.4.1. analizar A en forma escalar; A ϵR¨m*m¨ cuadrada

10.3.4.2. todas las filas tienen pivore si las columnas generan R¨m¨

10.3.4.3. al menos una fila no tiene pivote entonces las columnas no generan R¨m¨

10.4. 5.- Sea Ax=b, x el vector incog.

10.4.1. se justifica con el teorema 2

10.4.2. Ax=b Determinado entonces A es invertible

10.5. 7.- Si los vectores de ¨a¨ son consistentes o linealmente dependiente entonces existe al menos un vector de ¨a¨ que es combinacion lineal de los otros.

10.5.1. 7.a.- A es invetible entonces A equivale por filas I eR¨nxn¨

10.5.1.1. La forma escalonada reducida de A es I eR¨nxn¨.

10.5.2. 7.b.- Si A es invertible entonces las mismas op. elementales que transforman A en I transforman I en la inversa.

10.5.3. METODO

10.5.3.1. 1. Transformar A a su forma escalonada reducida

10.5.3.2. 2.1. TEO 2/ si es identidad entonces si si existe

10.5.3.3. 2.2. TEO 2/ no es identidad entonces no, no existe

10.6. 8.- Si n>m los vectores ¨a¨ son consitentes por lo que son linealmente dependientes

10.7. Todo vector ¨0¨ es linealmente independiente

10.8. Si existe una variable libre en la ecuación de la I.L crean (ec. vect homogenea) y hace que sea Lin. Dep.

10.9. Si la f es una funcion matricial el rango es igual al espacio generado

10.10. 10.A.- Si f es lineal existe una unica matriz A tal que f(x)=Ax; x siendo un vector

10.11. 10.B.- Si f es lineal entonces an=f(ei)

10.12. Toda funcion lineal es inyectiva

10.13. 12.A.- f es suryectiva y genera Rm

10.14. 12.B.- f es biyectiva si n=m y las columnas de A son linealmente independientes

10.15. Rm es espacio lineal

10.16. Si el espacio generado es todo Rm entonces el Gen es un espacio lineal

10.17. Si el gen es subconjunto de Rm siempre es espacio lineal

10.18. Sea ¨x¨ eRm, ¨x¨ debe ser distinto a 0

10.18.1. A) Existe un unico ¨x¨ eRm tq

10.18.1.1. II¨x¨II=1

10.18.1.2. ¨x¨=c¨x¨

10.18.2. B) C= 1/II¨x¨II

11. Matriz vector

11.1. Una matriz con una sola columna es un vector columna.

11.2. Operaciones

11.2.1. Igualdad

11.2.1.1. son iguales cuando

11.2.1.1.1. tienen el mismo tamaño (mismo numero de columnas y filas).

11.2.1.1.2. tienen mismos elementos

11.2.2. Suma o resta

11.2.2.1. se suma o se resta cuando

11.2.2.1.1. tienen el mismo tamaño

11.2.2.1.2. los elementos son correspondientes

11.2.2.1.3. A+ (vector x)= no existe

11.2.3. Multiplicacion escalar

11.2.3.1. NO es conmutativa

11.2.3.2. c = a un numero

11.2.3.3. A = a una matriz

11.2.3.3.1. cA ≠ Ac

11.2.3.4. se multiplica c para cada elemento de la matriz.

11.2.4. Forma parametrica

11.2.4.1. conjunto solucion ordenado por el valor de las variables

11.2.5. Multiplicación matriz-matriz

11.2.5.1. no es conmutativa

11.2.5.2. A ∈R(m*n); B ∈R (n*p); AB ∈R(m*p)

11.2.5.3. no existe cuando el numero de columas de la primera matriz no es el mismo que el numero de filas de la segunda matriz

11.2.6. Multiplicacion matriz-vector

11.2.6.1. al multiplicar estos como resultado me dará otro vector

12. Combinación lineal

12.1. Dados los vectores v1, v2,…, vp en y dados los escalares c1, c2,…, cp, el vector y definido por y=c1v1+c2v2.....cnvn.

12.1.1. problemas comunes

12.1.1.1. P.C.L.1Dado vectores A y coeficientes C encontrar vector ¨y¨.

12.1.1.1.1. solución

12.1.1.2. P.C.L.2 Dado los vectores ¨A¨ y dado los vectores ¨y¨ encontrar coeficientes escalares

12.1.1.2.1. solución

12.1.1.2.2. El vector ¨y¨ es combinacion lineal de los vectores ¨a¨

12.1.1.3. P.C.L.2.1 Encontrar valores para escalares C

12.1.1.4. P.C.L.2.2 Existen valores para escalares C?

12.1.1.4.1. La ec. vectorial es consistente?

12.1.1.4.2. La ec. vectorial tiene al menos una solución?

12.1.1.5. P.C.L.3 Dados los vectores A hallar los vectores ¨y¨ que sean cominacion lineal de A

12.1.1.5.1. Se responde creando un conjunto con las condiciones que se deben cumplir

12.1.1.6. P.C.L.3.1 Dado los vectores A y dado C encontrar vectores ¨y¨ que pertenezcan a C

12.1.1.7. P.C.L.3.2 Dada una matriz A ϵR¨m*n¨ .¿Las columnanas de A generan R¨m¨?

12.1.1.7.1. si, cuando el gen de los verctores a es igual a R¨m¨ o cuando no hay condiciones para la combinacion lineal.

12.1.1.7.2. no, cuando hay condiciones para la comb. lineal o cuando el gen solo incluye a R¨m¨.

12.2. Espacios Generados

12.2.1. Es el conjunto de todos los vectores y ϵR¨m¨que son C.L de vectores ¨a¨

13. Ecuación matricial

13.1. es la combinación lineal de las columnas de A utilizando como pesos las entradas correspondientes en x

13.1.1. Si A es una matriz de m*n, con columnas a1,…, an, y si b está en Rm, la ecuación matricial tiene el mismo conjunto solución que la ecuación vectorial

14. Espacio Generado

14.1. el conjunto de todos los vectores y que seam C.L. de los vectores de ¨a¨ se llaman espaios generados por ¨a¨

14.2. se puede denotar como

14.2.1. Gen o utilizando los signos (<>)

14.2.1.1. el Gen es el conjunto de todas las C.L.

15. independencia lineal

15.1. es linealmente independiente si la ec vectorial es determinada

15.2. es linealmente dependiente cuando la ec vectorial es indeterminada

15.3. Problemas comunes

15.3.1. dado los vectores ¨a¨ cR el conjunto es linealmente independiente

15.3.1.1. Si, (ec. vectorial) es determinada o por el teorema 7 ninguno es C.L.

15.3.1.2. No, (ec. vectorial) es indeterminada y por el teorema 7 encontre un vector

15.3.2. dados los vectores ¨ä¨ encontrar el sub conjunto mas grande que sea linealmente independente

15.3.2.1. encontrar todos los vectores de C.L

15.3.2.2. Teorema 7. Quitar esos vectores

16. Transformaciones lineales

16.1. y=f(x)

16.1.1. x eR: INDEPENDIENTE

16.1.2. y eR: DEPENDIENTE

16.2. siempre y cuando no causen contradicciones

16.2.1. Dominio de la funcion son todos los valores de las variables independientes

16.2.2. Rango de la funcion son todos los valores de las variables dependientes.

16.2.3. Ambos son subconjuntos de los reales

16.3. f es lineal en Df cuando

16.3.1. f(v+w)=f(v)+f(w)

16.3.2. f(cv)=cf(v)

16.3.3. v,w son vectores y c pertenece a los reales

16.4. Problemas

16.4.1. dada una funcion lineal encontar

16.4.1.1. su matriz

16.4.1.1.1. se usa el teorema 10.B como metodo de resolucion

16.4.1.2. su rango

16.4.1.2.1. 1. Encontrar su matriz

16.4.1.2.2. 2. Encontrar el espacio generado de las columnas de A.

16.4.1.3. inyectividad

16.4.1.3.1. es inyectiva si para todos los valores de x corresponde a un y

16.4.1.4. suryectividad

16.4.1.4.1. es suryectiva si para todo y tiene al menos un x

16.4.1.5. biyectividad

16.4.1.5.1. cada y tiene un unico x

17. Espacio lineal

17.1. solo si el 0 vector pertenece a Rm, el vector ¨v¨y¨w¨ pertenecen al espacio lineal entonces la suma de estos dos vectores deben pertenecer al espacio ineeal, un escalar multiplicado por vector pertenecen a un espacio lineal

17.2. Conjunto generado finito

17.2.1. sean los vectores ¨a¨ y sea H subconjunto de Rm esp. lineal

17.2.1.1. los vectores ¨a¨ es un conjunto generado finito H si y solo si el Gen de los vectores ¨a¨ es igual a H.

17.3. Problema

17.3.1. Encontrar un conjunto gen finito

17.3.1.1. METODO cuando m=2:

17.3.1.1.1. Si H es una recta, un solo vector es un puntocualquiera

17.3.1.1.2. Si H es R2 hay dos puntos cualquiera que son linealmente independientes

17.4. Dimensiones

17.4.1. cantidad maxima de vectores Lin. Ind qquue genera un espacio lineal

17.5. Bases

17.5.1. cantidad minima de vectores que generan un subespacio

17.5.1.1. tienen que cumplir 3 condiciones sabiendo que H es el subespacio generado

17.5.1.1.1. ¨v¨ y ¨u¨ pertenecen a H al igual que ¨v¨+¨u¨

17.5.1.1.2. Si ¨v¨pertenece a H, c¨v¨pertenece a H

17.5.1.1.3. Si el ¨0¨ pertenece a H

17.5.2. Problema

17.5.2.1. dado H subconjunto de Rm esp. lineal encontrrar su base

17.5.2.1.1. METODO

18. Ortogonalidad

18.1. es ortogonal cuando ¨x¨.¨y¨=0

18.2. Def. Producto inferior o punto

18.2.1. <¨x¨,¨y¨>= ¨x¨.¨y¨ eR

18.2.2. El resultado de esta multiplicacion es un numero

18.3. Def. Norma

18.3.1. IIxII= RAIZ DE ¨x¨.¨x¨ mayor o igual a 0

18.4. Def. Distancia

18.4.1. d(¨x¨,¨y¨)=II¨x¨-¨y¨II

18.4.2. propiedades, x,y,z son vectores

18.4.2.1. d(x,y)=0 si y solo si x=y

18.4.2.2. d(x,y)= d(y,x)

18.4.2.3. d(x,z)= d(x,y) + d(y,z)

18.5. Def. Normalidad

18.5.1. ¨x¨ es normal unitario cuando

18.5.1.1. II¨X¨II=1

18.5.1.2. ¨x¨.¨x¨=1

18.6. Def. Conj. Ortogonal

18.6.1. sean varios vectores de Rm

18.6.1.1. si el producto punto de cada pareja es 0 entonces son ortogoganes, ¨todos contra todos¨.

19. Proyecciones

19.1. teorema

19.1.1. cos θ=Iy.xL/IIxII.IIIyII

19.2. La proyeccion del vector debe ser del mismo tamaño que el vector

19.3. Sea L una linea y el vector y

19.3.1. el vector proveccion de y sobre L es equivalente a la proyeccion de y sobre x donde x es la base de L

19.4. Tomamos vectores base ortogonales para la suma de proyecciones

19.5. Minimos cuadrados

19.5.1. Sea H un espacio generado subconjunto de Rm

19.5.1.1. Proyeccion de y sobre H= a las combinaciones lineales de los vectores

19.5.2. debe cumplir

19.5.2.1. At .y= At.A.c

19.5.2.1.1. At es la matriz A transpuesta

19.5.2.2. B= At.A

19.5.2.3. b=At.y

19.5.2.4. Bc=b

19.5.2.5. B invertible debe ser consistente determinada

20. Determinantes

20.1. La matriz A debe ser cuadrada

20.2. Si las columnas de A son L. Independientes la determinante de una matriz debe ser distinta de 0

20.3. La deteerminante de A es la multiplicacion de los elementos de la diagonal principal

20.4. Si se intercambian filas el determinante cambia de signo

20.5. Metodo 1

20.5.1. Seleccional una fila/columna fija con mayor cant de ceros

20.5.2. Encontrar sign(A)

20.5.3. Encontrar las submatrices

20.5.4. Calcular det de todas las submatrices

20.6. Metodo 2

20.6.1. Reducir A forma escalonada

20.6.2. Mult. elementos de la diagonal principal

21. Valores propios

21.1. λ es valor propo de A si existe un vector perteneciente a Rn, tal que Av=λv

21.2. P.V.V.P.1.-Encontrar valor propio

21.2.1. Construir B=A-λI, λeR

21.2.2. det(A-λI)= p(λ)

21.2.3. Encontrar todos los λ tal que p(λ)=0

21.3. P.V.V.P.2.-Encontrar espacio propio Eλ=nul(A-λI)

21.3.1. Hallar los valores de λ

21.3.2. reemplazarlos y hallar el conjunto solucion

22. Diagonalizacion

22.1. Una matriz cuadrada A es diagonalizable si A es similar a una matriz diagonal, es decir, si A = PDP-1

22.2. Una matriz A de n *n es diagonalizable, si y solo si A tiene n vectores propios linealmente independientes.

22.3. Metodo

22.3.1. Hallar valores propios de A

22.3.2. Encontrar 3 vectores propios de A que sean linealmente independientes

22.3.3. Construir P con los vectores independietes

22.3.4. Construir D con los valores propios