PROBABILIDADES

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PROBABILIDADES por Mind Map: PROBABILIDADES

1. DEFINICIÓN

1.1. DEFINICIÓN: Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

2. HISTORIA

2.1. La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

3.1. ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

3.1.1. Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. ... La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.

3.2. SUCESO: Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

3.2.1. TIPOS DE SUCESOS:

3.2.1.1. Se dice que es un suceso elemental si está formado por un único elemento del espacio muestral. Por ejemplo, imagínate que metemos en una bolsa 5 papeletas con los números del 1 al 5. Por tanto, podemos obtener 5 resultados diferentes: Podemos sacar el 1, el 2, el 3, el 4 o el 5. A cada uno de estos resultados se le llama suceso elemental

3.2.1.2. Se dice que es un suceso compuesto si está formado por más de un elemento del espacio muestral. En el mismo ejemplo anterior obtener un número par, es decir, que salga un 2 o un 4 o un 6.

3.2.1.3. Suceso determinista o seguro, es aquel suceso cierto o seguro. Por ejemplo, al tirar un dado de 6 caras obtener un resultado menor que 7

3.2.1.4. Suceso imposible es aquél que no ocurre nunca. Se expresa con el símbolo Ø. Por ejemplo, obtener un ocho al tirar un dado cúbico.

3.2.1.5. Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo,

3.2.1.6. Sucesos Dependientes: sucesos cuya probabilidad se ve condicionada por otros. Por ejemplo, La probabilidad de sufrir una enfermedad pulmonar está condicionada por ser fumador.

3.2.1.7. Sucesos Independientes: sucesos cuya probabilidad no es afectada por otros. Por ejemplo, Al tirar un dado por segunda vez, su resultado es independiente del resultado del primer tiro

3.2.1.8. Sucesos Compatibles: tienen algún suceso elemental en común. Por ejemplo, Al tirar un dado, el suceso "obtener un número par" {2, 4, 6} es compatible con el suceso "obtener un número mayor de 3" {4, 5, 6} ya que ambos tienen en común dos sucesos elementales {4, 6}

3.2.1.9. Sucesos Incompatibles: no tienen ningún suceso elemental en común. Por ejemplo, al tirar un dado, el suceso "obtener un número impar" {1, 3, 5} es incompatible con el suceso "obtener un número mayor de 5" {6} ya que no tienen en común ningún suceso elemental.

3.2.1.10. Suceso Contrario: suceso que contiene el resto de sucesos elementales. Por ejemplo, al tirar una moneda, el suceso contrario de salir cara es salir cruz.

3.2.2. PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE SUCESOS

3.2.2.1. Propiedad Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A

3.2.2.2. Propiedad Asociativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3.2.2.3. Propiedad Idempotente: A ∩ A = A

3.2.2.4. Popiedad de Simplificación: A ∩ (A ∪ B) = A

3.2.2.5. Propiedad Distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

3.2.2.6. Elemento Neutro: A ∩ E = A, donde E es el espacio muestral al que pertenece el suceso A

3.2.2.7. Absorción: A ∩ Ø = Ø

3.3. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

4. DIAGRAMA DE ÁRBOL

4.1. Expresa los resultados posibles de una situación dada.

4.1.1. Por ejemplo, la probabilidad de seleccionar al azar una canica de una bolsa que contiene dos colores

5. TABLAS DE CONTINGENCIA

5.1. Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas de contingencia. Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.

6. EXPERIMENTOS

6.1. Predeterminado: Es aquél cuyo resultado es previsible, pues dicho resultado siempre será el mismo si se repite la experiencia en condiciones iguales o similares. Por ejemplo: Experimento Resultado – Lanzar una piedra – La piedra cae – Mirarse a un espejo – Verse reflejado – Calentar agua a 100ºC – Hierve el agua

6.2. Aleatorio: es aquél cuyo resultado no puede preverse, pues aunque la experiencia se repita en condiciones iguales o similares, el resultado será variable. Por ejemplo: Experimentos Resultado – Lanzar una moneda – Cara o sello – Lanzar un dado – 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 – Dar a luz – Hombre ó mujer En los experimentos aleatorios interviene el azar.

7. PROPIEDADES

7.1. -La probabilidad del suceso imposible es 0. -La probabilidad de un suceso sumada a la de su contrario da 1. -Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste. -La probabilidad de un suceso es un número real menor o igual que 1. -La probabilidad de la unión de varios sucesos incompatibles dos a dos es la suma de sus probabilidades. -La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

8. CARACTERÍSTICAS

8.1. -La probabilidad de un suceso es mayor o igual que cero. -La probabilidad del suceso seguro es uno. -La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de sus probabilidades.

9. OPERACIONES CON SUCESOS

9.1. Unión: la unión de dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se da uno de ellos. Intersección: la intersección dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se dan ambos a la vez.

10. REGLAS

10.1. LAPLACE

10.1.1. Establece que: La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0. La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1. Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad. La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así: P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.

10.2. ADICIÓN

10.2.1. La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo. Entonces, si A y B son mutuamente excluyentes, P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) Si A y B no son mutuamente excluyentes, P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A, P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B, y P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

10.3. MULTIPLICACIÓN

10.3.1. La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales. P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes. P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes. siendo P (B|A) la probabilidad de que ocurra B habiéndose dado o verificado el evento A.

11. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

11.1. La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, que se suelen designar como éxito y fracaso. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.