1. Opérations sur les ensembles
1.1. Card(A)+Card(B)=Card(AUB)+Card(A^B)
1.2. Card(A)=Card(A^B)+Card(A^B|)
1.3. Card(A)=Card(oméga)-Card(A|)
1.4. A|UB|=(A^B)|
2. Echantillonage et estimation
2.1. Estimation Ponctuelle
2.1.1. La moyenne
2.1.1.1. X| est un estimateur sans biais de u dont u est la moyenne de pop et x| de l'echant
2.1.1.1.1. X|=1/n*Sxi
2.1.2. la viance et L'ecart type
2.1.2.1. u connue
2.1.2.1.1. T²=1/n*Sxi² -u²
2.1.2.2. u inconnue
2.1.2.2.1. S|²=n/n-1*S²=1/n*Sxi²-x|²
2.1.3. La proportion
2.1.3.1. pe=Xn/n pe=p^
2.2. Estimation par intervalle de confiance
2.2.1. La moyenne
2.2.1.1. Si n<30 il doit etre mentionné que X suit une loi normale centré réduite
2.2.1.1.1. σ connue
2.2.1.1.2. σ inconnue
2.2.1.2. Si n>30
2.2.1.2.1. σ connue
2.2.1.2.2. σ inconnue
2.2.2. l'écart type
2.2.2.1. µ connue
2.2.2.1.1. IC=[nt²/K(1-α/2);nt²/(α/2)]
2.2.2.2. µ inconnue
2.2.2.2.1. IC=[nS²/K(1-α/2);nS²/(α/2)]
2.2.3. La proportion
2.2.3.1. Si n>30 et nf>5 et n(1-f)>5
2.2.3.1.1. IC=[f-µ*rac(f*(1-f))/n; f+µ*rac(f*(1-f))/n)
3. Variables aléatoires discrétes
3.1. La loi de proba est le tableau des valeurs et des probas Avec S($)={valeurs}
3.2. E(X)=Sg xi pi
3.2.1. E(a)=a E(kX)=K*E(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X+a)=E(X)+a
3.3. V(X)=E(X²)-E(X)²=Sg xi² pi-E(x)²
3.3.1. Var(a)=0 Var(kX)=K²Var(X) Var(X+k)=Var(X)
3.4. Fonction de masse
3.4.1. f(x)= p1 si x=x1 p2 si x=x2 ... pn si x=xn 0 si x=/xi, i V (1,2,...,n)
3.5. Loi uniforme discrete
3.5.1. Vk de {1,2,...,n} P(X=k)=1/n E(X)=n+1/2 V(X)=n²-1/2
3.5.1.1. Lancé d'un dé équilibré
3.6. Fonction de répartition
3.6.1. F(X)=p(X<x) de -inf a +inf P(X<b)=p(X<=b)-p(x=b) P(a<X<b)=p(X<b)-p(x<=a)
4. Lois discrétes usuelles
4.1. Loi de Bernoulli
4.1.1. X suit Be(p) alors E(x)=p et V(x)=pq
4.1.1.1. Lancé d'une pièce de monnaie echec succés
4.2. Loi binomiale
4.2.1. la loi de probabilité d'une variable aléatoire représentant une série d'épreuves de Bernoulli X suit B(n,p)
4.2.1.1. P(X=k)=C de K parmi n *p^k*q^n-k
4.2.1.2. E(X)=np et V(x)=npq
4.2.1.3. Tire sur un oiseau 4 fois successives
4.3. Loi géométrique*
4.3.1. On répéte une épreuve de Bernoulli de façon indépendante jusqu'à l'obtention d'un succés, l'évenement X=n est la conjonction de n-1 echec suivi d'un succés
4.3.1.1. P(X=n)=p*q^n-1 quand X suit Geom*(p)
4.3.1.2. E(X)=1/p V(X)=1-p/p²
4.3.1.3. On lance un dé jusqu'à obtenir un succés. X est le nombre de lancers avant d'obtenir p
4.4. Loi géométrique
4.4.1. On répéte une épreuve de Bernoulli de façon indépendante, La variable X est le nombre de répétition AVANT l'obetention du succés, donc l'event X=n est la conjonction de n ehec suivi d'un succés
4.4.1.1. P(X=n)=p*q^n
4.4.1.2. E(X)=1-p/p et V(x)=1-p/p²
4.4.1.3. Imad tire sur un oiseau jusqu'a le 1er toucher, X le nombre de tir avant le 1er toucher
4.5. Loi hypergéométrique
4.5.1. Dans une boite de 14 boules, il y a 6 boules rouges et 8 boules jaunes. On tire au hasard 3 boules de la boite, sans remise. soit X le nombre de boules rouges tirés parmi les 3
4.5.1.1. Pour tout 0<=k<=3, P(X=k)=Ck6*C3-k8/C3de14
4.5.1.1.1. Alors X suit H(14,3,6/14)
4.6. Loi de poisson
4.6.1. X suit P(Y) Loi de poisson est adapté à l'étude des événements doit les chances de réalisation sont faibles
4.6.1.1. X(ome)=N et P(X=k)=e^-y*(y^k/k!)
4.6.1.2. E(X)=V(X)=y
5. Calcul des proba
5.1. Calculs simple
5.1.1. P(A)=1-P(A|)=Card(A)/Card(Ome) P(A)=P(A^B)+P(A^B|) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A^B)
5.2. Système complet d'événements
5.2.1. Quand Ai^Aj=0 pour i=/J et A1UA2U...UAn=Omé donc P(A)=p(A^A1)+p(A^A2)+...+p(A^An)
5.2.1.1. P(A1/C)=P(C/A1)*P(A1)/SCI de C
5.3. Proba conditionnelle
5.3.1. Proba conditionnale de A sachant B P(A/B) la possibilité de réalisation de A sachant que B est déja réalisé P(A/B)=P(A^B)/P(B)
5.4. Indépendance
5.4.1. P(A^B)=P(A)*P(B)
5.4.2. P(A/B)=P(A)
5.4.2.1. car p(A/B)=P(A^B)/p(B)=p(A)*p(B)/p(B)=p(A)
5.4.3. (A et B|) et (A| et B|) sont indépendants
6. Dénombrement
6.1. Arr sans rép (ordre important)
6.1.1. A de K parmi N= n!/(n-k)! *Ck de n
6.1.2. AMPHI cmb de mots différents de 3 lettres A de parmi 5 = 5*4*3
6.2. Arr avec rép
6.2.1. N^k
6.2.2. Code pin de 4 chiffres? 10^4
6.3. Permuta sans rep
6.3.1. n!
6.3.2. Anagrame du mot LAIT =4!
6.4. Permu avec rep
6.4.1. N!/k!*k!
6.4.2. Anagramme du mot Economie= 8!/2!*2!
6.5. Combinaison sans rep
6.5.1. C de K parmi n
6.5.2. Groupe de 5 parmi 20 =C de 5 parmi 20
6.5.3. C k de n=C n-k de n C 0 de n= C n de n=1
6.5.4. Ckden= n!/(n-k)!*k!
6.5.4.1. Combien de possibilité de 5 numéros parmi 49
6.5.4.2. C5de49=49!/(49-5)!*5!
6.5.4.2.1. =49*48*47*46*45/5*4*3*2*1
7. Lois continus
7.1. Densité de proba
7.1.1. F est DDP ssi F est continue sur R sauf un nombre fini de points, Vx de R, f(x)>=0 et intégrale de -inf +inf de f(x)dx=1
7.1.1.1. P(X=a)=0
7.1.1.2. P(X>a)=P(X>=a)=Int de a à +inf f(x)dx
7.1.1.3. P(X>a)=1-P(X<a)
7.1.2. La variance de X, Int-+inf x²f(x)-(E(x))²
7.1.2.1. Espérance X E(X)=int-+inf xf(x)
7.1.3. La fonction de répartition de X
7.1.3.1. F(X)=P(X<x)=int-inf jusqu'à x exemple page 78
7.2. Loi uniforme continue
7.2.1. La densité est constante sur [a;b] et nulle ailleurs
7.2.1.1. f(x)=1/b-a si xC[a;b] et 0 sinon
7.2.1.2. E(x)=a+b/2 et v(x)=(b-a)²/12
7.2.1.3. La durée d'attente d'un bus qui passe tous les 15 min, f(x)=1/15, si xC[0;15] et 0 sinon
7.3. Loi exponentielle
7.3.1. La variable X suit une loi exponentielle de paramètre y>0 si sa f de densité est f(x)=ye^-yx si x>0 et f(x)=0 sinon$
7.3.1.1. E(x)=1/y et v(x)=1/y²
7.3.1.2. F(x)=0 si x<0 et F(x)=1-e^-yx si x >=0
7.3.1.3. Durée de fonctionnement d'un appareil électronique avant la 1er panne