1. Concepto
1.1. un espacio vectorial real v, es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con 2 operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar.
2. Dependencia Lineal
2.1. Definición: Se dice que un conjunto de vectores es linealmente dependiente (o ligado) si: (a) Al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás. Esto se puede expresar también así: (b) El vector 0 es combinación lineal de ellos (con coeficientes no todos nulos).
2.1.1. Ejemplo: Sean en los vectores u=(1,1), v=(0,3), w=(2,5) . 2 ℜ • Observamos que son linealmente dependientes por (a): w es combinación lineal de u y v , puesto que w = v+2u. (pueden encontrarse también otras combinaciones, como u = 1 2 w – 1 2 v , etc).
3. Independencia Lineal
3.1. Definición: En caso de que un conjunto de vectores no sea linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente ( o libre ) . Por tanto, escribiendo la negación de la definición de dependencia lineal, tendremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando: (a) Ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. O equivalentemente: (b) El vector 0 no es combinación lineal de ellos, a no ser que la combinación tenga coeficientes todos nulos. G Expresando (b) de otra manera, (b) La única forma de poner como combinación lineal de los vectores, es con todos los coeficientes nulos.
3.1.1. Ejemplo: Veamos si son independientes w=(3,1) y k=(6,2): con el mismo planteamiento, 3 α + 6 β = 0 α + 2 β = 0 (0,0) = α (3,1) + β (6,2) ⇒ Este sistema es compatible indeterminado. Esto quiere decir (aun sin resolver el sistema) que existen coeficientes α , β no nulos que permiten poner (0,0) como combinación lineal de w, k. Por tanto w, k son linealmente dependientes.
4. Propiedades
4.1. del producto de un vector
4.1.1. • Asociativa: β (α v) = ( β α ) v • Distributivas: Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v • Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v
4.2. de suma
4.2.1. • Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w) • Conmutativa: v+u=u+v. • Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que + v = v para cualquier vector v. K 0 K • Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .
4.3. de los espacios vectoriales
4.3.1. Pueden producirse de las anteriores propiedades básicas.
5. Sub Espacios Vectoriales
5.1. Dado un espacio vectorial v, se dice que un subconjunto s de v es un subespacio vectorial si contiene al vector k, y si al efectuar las operaciones de suma y productos por escalar entre vectores s, el resultado permanece s.
5.2. Ejemplo:
5.2.1. 1) La recta x=y es un subespacio de . Está formado por los vectores de la forma (a,a). 2 ℜ Contiene al vector (0,0). Además, es cerrado para la suma y producto por escalar: • Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b) que también es un elemento de la recta. • Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(a,a) = (λa, λa) que también es un elemento de la recta.
5.3. Descripción
5.3.1. Forma Implícita: Mediante ecuaciones, los vectores que verifiquen las ecuaciones son los que pertenecen al subespacio.
5.3.1.1. Ejemplo: Consideremos el subespacio de 3 ℜ dado en implícitas por ¿Cuál es su forma paramétrica? Para ello resolvemos el sistema, que es compatible indeterminado. La solución depende de un parámetro y es { (–λ, 0, λ) : λ ∈ℜ }.
5.3.2. Forma parametrica: Mediante una expresión con parámetros, los cuales al tomar distintos valores producen todos los vectores del subespacio.